Номер 432, страница 98, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

432 Построй математическую модель задачи и найди её решение методом проб и ошибок.

Одна из сторон прямоугольника на 20 см больше другой. Если большую сторону уменьшить в 3 раза, а меньшую сторону увеличить в 2 раза, то площадь нового прямоугольника будет равна $200 \text{ см}^2$. Найти стороны данного прямоугольника.

Построй математическую модель задачи

Пусть меньшая сторона исходного прямоугольника равна $x$ см. Поскольку одна из сторон на 20 см больше другой, то большая сторона будет равна $(x + 20)$ см.
Согласно условию, большую сторону уменьшили в 3 раза, то есть она стала равна $\frac{x+20}{3}$ см.
Меньшую сторону увеличили в 2 раза, и она стала равна $2x$ см.
Площадь нового прямоугольника вычисляется как произведение его новых сторон. По условию, она равна 200 см². Составим уравнение, которое и будет математической моделью задачи:
$\frac{x+20}{3} \cdot 2x = 200$

Ответ: Математическая модель задачи: $\frac{x+20}{3} \cdot 2x = 200$, где $x$ — длина меньшей стороны исходного прямоугольника в сантиметрах.

Найди её решение методом проб и ошибок

Для удобства решения методом проб и ошибок упростим полученное уравнение:
$2x(x+20) = 200 \cdot 3$
$2x(x+20) = 600$
$x(x+20) = 300$
Теперь будем подбирать такое целое положительное число $x$, чтобы произведение этого числа и числа, большего его на 20, было равно 300.
Проба 1: Предположим, $x=5$. Тогда $5 \cdot (5+20) = 5 \cdot 25 = 125$.
$125 < 300$. Значение 5 слишком маленькое.
Проба 2: Попробуем значение побольше, например, $x=10$. Тогда $10 \cdot (10+20) = 10 \cdot 30 = 300$.
$300 = 300$. Значение $x=10$ является решением уравнения.
Итак, меньшая сторона исходного прямоугольника равна 10 см.
Тогда большая сторона равна $10 + 20 = 30$ см.
Проверим:
Новая меньшая сторона: $10 \cdot 2 = 20$ см.
Новая большая сторона: $30 \div 3 = 10$ см.
Площадь нового прямоугольника: $20 \cdot 10 = 200$ см². Условие выполняется.

Ответ: Стороны данного прямоугольника равны 10 см и 30 см.