Номер 428, страница 97, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

428 Два велосипедиста едут по одной дороге. Сейчас расстояние между ними 54 км. Скорость одного велосипедиста 12 км/ч, что составляет $ \frac{3}{4} $ скорости второго велосипедиста. Какое расстояние будет между ними через 2 ч? (Рассмотреть все случаи.)

Для решения задачи сначала найдем скорость второго велосипедиста. Обозначим скорость первого велосипедиста как $v_1$, а второго — как $v_2$.

Дано:

• Начальное расстояние между велосипедистами $S_0 = 54$ км.
• Скорость первого велосипедиста $v_1 = 12$ км/ч.
• Время движения $t = 2$ ч.
• Соотношение скоростей: $v_1 = \frac{3}{4} v_2$.

Вычислим скорость второго велосипедиста:

$12 = \frac{3}{4} v_2$

$v_2 = 12 \div \frac{3}{4} = 12 \cdot \frac{4}{3} = \frac{12 \cdot 4}{3} = 4 \cdot 4 = 16$ км/ч.

Таким образом, $v_1 = 12$ км/ч, а $v_2 = 16$ км/ч. Теперь рассмотрим все возможные случаи движения.

Случай 1: Велосипедисты едут навстречу друг другу.

В этом случае они сближаются. Скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2 = 12 + 16 = 28$ км/ч. За 2 часа они проедут навстречу друг другу расстояние $d = v_{сбл} \cdot t = 28 \cdot 2 = 56$ км. Так как начальное расстояние между ними было 54 км, а они сблизились на 56 км, это означает, что они встретились и разъехались в противоположные стороны. Расстояние между ними через 2 часа будет равно разнице между тем, сколько они проехали, и начальным расстоянием: $S_1 = 56 - 54 = 2$ км.
Ответ: 2 км.

Случай 2: Велосипедисты едут в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга.

В этом случае расстояние между ними увеличивается. Скорость удаления равна сумме их скоростей: $v_{уд} = v_1 + v_2 = 12 + 16 = 28$ км/ч. За 2 часа расстояние между ними увеличится на $d = v_{уд} \cdot t = 28 \cdot 2 = 56$ км. Итоговое расстояние будет равно сумме начального расстояния и дополнительного расстояния: $S_2 = S_0 + d = 54 + 56 = 110$ км.
Ответ: 110 км.

Случай 3: Велосипедисты едут в одном направлении, и более быстрый ($v_2$) догоняет более медленного ($v_1$).

В этом случае более быстрый велосипедист находится позади. Расстояние между ними сокращается. Скорость сближения равна разности их скоростей: $v_{сбл} = v_2 - v_1 = 16 - 12 = 4$ км/ч. За 2 часа расстояние между ними сократится на $d = v_{сбл} \cdot t = 4 \cdot 2 = 8$ км. Новое расстояние будет: $S_3 = S_0 - d = 54 - 8 = 46$ км.
Ответ: 46 км.

Случай 4: Велосипедисты едут в одном направлении, и более медленный ($v_1$) следует за более быстрым ($v_2$).

В этом случае более медленный велосипедист находится позади. Расстояние между ними увеличивается. Скорость удаления равна разности их скоростей: $v_{уд} = v_2 - v_1 = 16 - 12 = 4$ км/ч. За 2 часа расстояние между ними увеличится на $d = v_{уд} \cdot t = 4 \cdot 2 = 8$ км. Новое расстояние будет: $S_4 = S_0 + d = 54 + 8 = 62$ км.
Ответ: 62 км.