Номер 446, страница 100, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

446 Чтобы войти в замок Арифмос, надо набрать шифр: записать последовательно в возрастающем порядке по одному разу 10 первых простых чисел натурального ряда. В полученном многозначном числе, не переставляя цифры, вычеркнуть половину цифр так, чтобы оставшиеся выражали:

а) наименьшее возможное число;

б) наибольшее число.

Какие это числа?

*

Для решения этой задачи выполним последовательно все шаги, описанные в условии.

1. Находим первые 10 простых чисел натурального ряда. Простое число — это натуральное число больше единицы, которое делится без остатка только на 1 и на само себя. В порядке возрастания первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

2. Записываем эти числа последовательно в одну строку, чтобы получить многозначное число-шифр:

2357111317192329

3. Считаем общее количество цифр в полученном числе. Четыре однозначных числа (2, 3, 5, 7) дают 4 цифры. Шесть двузначных чисел (11, 13, 17, 19, 23, 29) дают $6 \times 2 = 12$ цифр. Итого, в шифре $4 + 12 = 16$ цифр.

4. По условию, нужно вычеркнуть половину цифр. Это означает, что мы вычеркиваем $16 / 2 = 8$ цифр, и, соответственно, оставляем тоже 8 цифр. Порядок оставшихся цифр изменять нельзя.

а) наименьшее возможное число

Чтобы получить наименьшее число, мы должны стремиться к тому, чтобы первые цифры результата были как можно меньше. Для этого мы будем использовать "жадный" алгоритм. Чтобы выбрать первую цифру нашего 8-значного числа, мы должны выбрать самую маленькую цифру из первых $16 - 8 + 1 = 9$ цифр исходного числа (235711131). Это цифра 1. Мы выбираем ее и вычеркиваем все цифры перед ней (2, 3, 5, 7).

Проследим весь процесс формирования числа:

Исходное число: 2357111317192329.

- 1-я цифра: Выбираем первую '1' (из числа 11). Вычеркиваем 2, 3, 5, 7. Остается: 111317192329.

- 2-я цифра: Из оставшихся цифр берем следующую '1'. Ничего не вычеркиваем. Остается: 11317192329.

- 3-я цифра: Берем следующую '1' (из числа 13). Ничего не вычеркиваем. Остается: 317192329.

- 4-я цифра: Пропускаем '3', так как за ней есть цифра меньше ('1'). Вычеркиваем '3', берем '1' (из числа 17). Остается: 7192329.

- 5-я цифра: Пропускаем '7', так как за ней есть '1'. Вычеркиваем '7', берем '1' (из числа 19). Остается: 92329.

- 6-я цифра: Пропускаем '9', так как за ней есть '2'. Вычеркиваем '9', берем '2' (из числа 23). Остается: 329.

- 7-я цифра: Пропускаем '3', так как за ней есть '2'. Вычеркиваем '3', берем '2' (из числа 29). Остается: 9.

- 8-я цифра: Берем последнюю оставшуюся цифру '9'.

В результате мы вычеркнули 8 цифр: 2, 3, 5, 7, 3 (из 13), 7 (из 17), 9 (из 19), 3 (из 23).

Оставшиеся цифры образуют наименьшее возможное число.

Ответ: 11111229.

б) наибольшее число

Чтобы получить наибольшее число, мы действуем аналогично, но на каждом шаге выбираем самую большую возможную цифру.

Исходное число: 2357111317192329.

- 1-я цифра: Ищем наибольшую цифру среди первых 9 (235711131). Это 7. Вычеркиваем 2, 3, 5 (3 вычеркивания). Остается: 7111317192329.

- 2-я цифра: Нам нужно выбрать еще 7 цифр из 13 оставшихся. Мы можем вычеркнуть еще $13 - 7 = 6$ цифр. Ищем наибольшую цифру в первых $6+1=7$ знаках оставшейся части (7111317). Это снова 7. Чтобы ее выбрать, вычеркиваем все цифры между первой и второй 7: 1, 1, 1, 3, 1 (5 вычеркиваний).

Всего мы сделали $3+5=8$ вычеркиваний. Лимит исчерпан. Поэтому все остальные цифры справа от второй семерки мы должны оставить. Оставшаяся часть числа — 192329.

Соединяем полученные части: первая цифра 7, вторая 7 и оставшаяся часть 192329.

Ответ: 77192329.