Номер 46, страница 13, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

46 Вычисли приближённо площади этих фигур, используя известную тебе формулу $S \approx a + b : 2$, где $a$ — число клеток, которые входят в фигуру целиком, а $b$ — число клеток, которые входят в фигуру частично. Если число $b$ нечётно, то увеличь его на 1. Подумай, площади каких фигур ты можешь вычислить точно. Сравни точные значения их площадей с приближёнными.

$S_{\text{кл.}} = 1 \text{ см}^2$

Для вычисления приближённой площади фигур воспользуемся формулой $S \approx a + b : 2$, где $a$ — количество целых клеток внутри фигуры, а $b$ — количество клеток, которые пересекает граница фигуры. Площадь одной клетки $S_{кл.} = 1 \text{ см}^2$.

Треугольник

1. Вычисление приближённой площади:

Подсчитаем количество целых клеток внутри треугольника: $a = 6$.

Подсчитаем количество клеток, которые фигура пересекает частично (клетки на границе): $b = 10$. Число $b$ чётное.

Приближённая площадь равна: $S_{прибл.} \approx a + b : 2 = 6 + 10 : 2 = 6 + 5 = 11 \text{ см}^2$.

2. Вычисление точной площади:

Треугольник имеет основание $h = 6$ см и высоту $h = 3$ см. Его площадь вычисляется по формуле: $S_{точная} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S_{точная} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9 \text{ см}^2$.

3. Сравнение:

Приближённое значение $11 \text{ см}^2$ отличается от точного значения $9 \text{ см}^2$.

Ответ: Приближённая площадь треугольника $S_{прибл.} \approx 11 \text{ см}^2$. Точная площадь $S_{точная} = 9 \text{ см}^2$.

Круг

1. Вычисление приближённой площади:

Количество целых клеток внутри круга: $a = 4$.

Количество частично входящих клеток: $b = 12$. Число $b$ чётное.

Приближённая площадь равна: $S_{прибл.} \approx a + b : 2 = 4 + 12 : 2 = 4 + 6 = 10 \text{ см}^2$.

2. Вычисление точной площади:

Радиус круга $r = 2$ см. Его площадь вычисляется по формуле: $S_{точная} = \pi r^2$.

$S_{точная} = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \text{ см}^2$. Используя приближение $\pi \approx 3.14$, получаем $S_{точная} \approx 4 \cdot 3.14 = 12.56 \text{ см}^2$.

3. Сравнение:

Приближённое значение $10 \text{ см}^2$ близко к точному значению $4\pi \approx 12.56 \text{ см}^2$.

Ответ: Приближённая площадь круга $S_{прибл.} \approx 10 \text{ см}^2$. Точная площадь $S_{точная} = 4\pi \text{ см}^2 \approx 12.56 \text{ см}^2$.

Прямоугольник с закругленными углами

1. Вычисление приближённой площади:

Количество целых клеток внутри фигуры: $a = 24$. (Это клетки, образующие крестообразную фигуру размером $7 \times 4$ без угловых клеток).

Количество частично входящих клеток (угловые клетки): $b = 4$. Число $b$ чётное.

Приближённая площадь равна: $S_{прибл.} \approx a + b : 2 = 24 + 4 : 2 = 24 + 2 = 26 \text{ см}^2$.

2. Вычисление точной площади:

Фигура состоит из центрального прямоугольника $5 \times 2$, двух прямоугольников $2 \times 1$ по бокам, двух прямоугольников $5 \times 1$ сверху и снизу, и четырех четвертей круга радиусом $r=1$ см в углах. Общая площадь прямоугольной части $5 \times 4 + (7-5) \times 2 = 20 + 4 = 24 \text{ см}^2$. Четыре четверти круга образуют один целый круг радиусом 1 см, его площадь $S_{круга} = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \text{ см}^2$.

$S_{точная} = 24 + \pi \text{ см}^2$. Используя $\pi \approx 3.14$, получаем $S_{точная} \approx 24 + 3.14 = 27.14 \text{ см}^2$.

3. Сравнение:

Приближённое значение $26 \text{ см}^2$ очень близко к точному значению $24 + \pi \approx 27.14 \text{ см}^2$.

Ответ: Приближённая площадь фигуры $S_{прибл.} \approx 26 \text{ см}^2$. Точная площадь $S_{точная} = (24 + \pi) \text{ см}^2 \approx 27.14 \text{ см}^2$.

Квадрат

1. Вычисление приближённой площади:

Количество целых клеток внутри квадрата: $a = 1$.

Количество частично входящих клеток: $b = 0$. Число $b$ чётное.

Приближённая площадь равна: $S_{прибл.} \approx a + b : 2 = 1 + 0 : 2 = 1 \text{ см}^2$.

2. Вычисление точной площади:

Квадрат имеет сторону 1 см. Его площадь равна: $S_{точная} = 1 \cdot 1 = 1 \text{ см}^2$.

3. Сравнение:

Приближённое значение $1 \text{ см}^2$ в точности совпадает с точным значением $1 \text{ см}^2$.

Ответ: Приближённая площадь квадрата $S_{прибл.} \approx 1 \text{ см}^2$. Точная площадь $S_{точная} = 1 \text{ см}^2$.

Вывод

Точно, без использования иррациональных чисел вроде $\pi$, можно вычислить площади треугольника и квадрата, так как их стороны и высоты соответствуют целым числам клеток. Для вычисления точной площади круга и прямоугольника с закругленными углами необходимо число $\pi$. Сравнение показывает, что предложенная формула дает хорошее, но не всегда точное приближение площади.