Номер 472, страница 104, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

472 Докажи или опровергни утверждение: «Если произведение двух чисел делится на число $k = 3$, то хотя бы один из множителей тоже делится на $k$».

А верно ли это для чисел $k = 4, 5, 8$?

Для k = 3

Утверждение: «Если произведение двух чисел $a \cdot b$ делится на 3, то хотя бы один из множителей, $a$ или $b$, тоже делится на 3».

Это утверждение верно. Докажем его.

Число 3 является простым числом. Свойство, описанное в утверждении, является фундаментальным свойством простых чисел (иногда его называют леммой Евклида).

Доказательство основывается на основной теореме арифметики, которая гласит, что любое натуральное число, большее 1, может быть представлено в виде произведения простых множителей, и это представление единственно с точностью до порядка следования множителей.

Пусть произведение $a \cdot b$ делится на 3. Это означает, что в разложении числа $a \cdot b$ на простые множители присутствует число 3. Разложение на простые множители произведения $a \cdot b$ является объединением простых множителей чисел $a$ и $b$.

Следовательно, простой множитель 3 должен находиться либо в разложении числа $a$, либо в разложении числа $b$.

• Если 3 находится в разложении $a$, то $a$ делится на 3.
• Если 3 находится в разложении $b$, то $b$ делится на 3.

Таким образом, если произведение $a \cdot b$ делится на 3, то по крайней мере одно из чисел ($a$ или $b$) обязательно делится на 3.

Ответ: утверждение верно.

Для k = 4

Утверждение: «Если произведение двух чисел $a \cdot b$ делится на 4, то хотя бы один из множителей, $a$ или $b$, тоже делится на 4».

Это утверждение неверно. Число 4 является составным ($4 = 2 \cdot 2$). Для составных чисел это свойство, как правило, не выполняется. Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести один контрпример.

Рассмотрим числа $a=2$ и $b=6$.

• Число $a=2$ не делится на 4 (остаток от деления 2).
• Число $b=6$ не делится на 4 (остаток от деления 2).

Их произведение $a \cdot b = 2 \cdot 6 = 12$. Число 12 делится на 4, так как $12 = 4 \cdot 3$.

Мы нашли пример, где произведение делится на 4, но ни один из множителей не делится на 4. Следовательно, утверждение для $k=4$ ложно.

Ответ: утверждение неверно.

Для k = 5

Утверждение: «Если произведение двух чисел $a \cdot b$ делится на 5, то хотя бы один из множителей, $a$ или $b$, тоже делится на 5».

Это утверждение верно.

Доказательство полностью аналогично случаю с $k=3$. Число 5 является простым. Если произведение $a \cdot b$ делится на 5, то в его разложении на простые множители есть множитель 5. Поскольку разложение на простые множители произведения есть объединение простых множителей сомножителей, то множитель 5 должен содержаться либо в разложении числа $a$, либо в разложении числа $b$. Это и означает, что либо $a$ делится на 5, либо $b$ делится на 5.

Ответ: утверждение верно.

Для k = 8

Утверждение: «Если произведение двух чисел $a \cdot b$ делится на 8, то хотя бы один из множителей, $a$ или $b$, тоже делится на 8».

Это утверждение неверно. Число 8 является составным ($8 = 2 \cdot 4$ или $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$). Приведем контрпример.

Рассмотрим числа $a=4$ и $b=2$.

• Число $a=4$ не делится на 8.
• Число $b=2$ не делится на 8.

Их произведение $a \cdot b = 4 \cdot 2 = 8$. Число 8 делится на 8.

Таким образом, произведение делится на 8, но ни один из множителей в отдельности на 8 не делится. Утверждение для $k=8$ ложно.

Ответ: утверждение неверно.