Номер 477, страница 104, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

477 Начерти отрезок $AB$, равный 5 см. Проведи окружность с центром в точке $A$ радиусом 4 см и окружность с центром в точке $B$ радиусом 3 см. Отметь указанным цветом множество точек $X$, удовлетворяющих условиям:

1) $AX = 4 \text{ см}$ и $BX = 3 \text{ см}$ (красным);

2) $AX < 4 \text{ см}$ и $BX < 3 \text{ см}$ (синим);

3) $AX < 4 \text{ см}$ и $BX > 3 \text{ см}$ (жёлтым);

4) $AX > 4 \text{ см}$ и $BX < 3 \text{ см}$ (зелёным).

Где расположены точки, удалённые от точки $A$ больше, чем на 4 см, и от точки $B$ больше, чем на 3 см?

479

Для решения задачи мысленно начертим отрезок $AB$ длиной 5 см. Затем построим две окружности: одну с центром в точке $A$ и радиусом $r_A = 4$ см, и вторую с центром в точке $B$ и радиусом $r_B = 3$ см. Расстояние между центрами $d = AB = 5$ см. Так как сумма радиусов $r_A + r_B = 4 + 3 = 7$ см, а их разность $|r_A - r_B| = |4 - 3| = 1$ см, то выполняется неравенство $|r_A - r_B| < d < r_A + r_B$. Это означает, что окружности пересекаются в двух различных точках.

Множество точек $X$, удовлетворяющих условию $AX < R$, представляет собой открытый круг (внутреннюю область окружности, не включая саму линию окружности) с центром в соответствующей точке и радиусом $R$. Условие $AX > R$ описывает все точки плоскости вне этого круга. Условие $AX = R$ описывает точки, лежащие непосредственно на самой окружности.

1) AX = 4 см и BX = 3 см (красным)

Условие $AX = 4$ см означает, что точка $X$ должна лежать на окружности с центром в $A$ и радиусом 4 см. Условие $BX = 3$ см означает, что точка $X$ должна лежать на окружности с центром в $B$ и радиусом 3 см. Так как точка $X$ должна удовлетворять обоим условиям одновременно, она должна принадлежать обеим окружностям. Таким множеством являются точки пересечения двух окружностей.

Ответ: Искомое множество — это две точки, в которых пересекаются окружность с центром в A радиусом 4 см и окружность с центром в B радиусом 3 см.

2) AX < 4 см и BX < 3 см (синим)

Условие $AX < 4$ см задает все точки, находящиеся внутри круга с центром $A$ и радиусом 4 см. Условие $BX < 3$ см задает все точки внутри круга с центром $B$ и радиусом 3 см. Нам нужно найти множество точек, которые удовлетворяют обоим условиям, то есть находятся в общей части (пересечении) этих двух кругов.

Ответ: Искомое множество — это область пересечения двух открытых кругов (общая "линзообразная" часть внутренностей двух окружностей).

3) AX < 4 см и BX > 3 см (жёлтым)

Условие $AX < 4$ см задает точки внутри круга с центром $A$. Условие $BX > 3$ см задает точки вне круга с центром $B$. Следовательно, искомое множество точек — это та часть круга с центром $A$, которая находится за пределами круга с центром $B$.

Ответ: Искомое множество — это часть внутренности круга с центром A, которая лежит вне круга с центром B.

4) AX > 4 см и BX < 3 см (зелёным)

Условие $AX > 4$ см задает точки вне круга с центром $A$. Условие $BX < 3$ см задает точки внутри круга с центром $B$. Таким образом, искомое множество точек — это та часть круга с центром $B$, которая находится за пределами круга с центром $A$.

Ответ: Искомое множество — это часть внутренности круга с центром B, которая лежит вне круга с центром A.

Где расположены точки, удалённые от точки А больше, чем на 4 см, и от точки В больше, чем на 3 см?

Условие "удалённые от точки А больше, чем на 4 см" можно записать как $AX > 4$ см. Это все точки, лежащие вне круга с центром $A$ и радиусом 4 см. Условие "удалённые от точки В больше, чем на 3 см" можно записать как $BX > 3$ см. Это все точки, лежащие вне круга с центром $B$ и радиусом 3 см. Нам нужно найти точки, которые удовлетворяют обоим этим условиям одновременно.

Ответ: Эти точки расположены одновременно вне круга с центром в точке A радиусом 4 см и вне круга с центром в точке B радиусом 3 см. Это вся плоскость, за исключением области, занимаемой этими двумя кругами (включая их границы).