Номер 481, страница 105, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

481 Учитель проверил работы трёх учеников – Андрея, Виталия и Сергея, но работ с собой не взял. Ученикам же он сказал так: «Все вы, ребята, написали работы на разные оценки: 3, 4 и 5. У Сергея оценка не 5, у Виталия оценка не 4, а вот у Андрея – 4». Оказалось, что ребята действительно получили разные оценки. Но учитель ошибся в том, кто какую оценку получил, и только одному ученику назвал её правильно. Какую оценку получил каждый из учеников за контрольную работу?

Для решения задачи проанализируем условия и утверждения учителя. У нас есть три ученика: Андрей (А), Виталий (В) и Сергей (С), и три разные оценки: 3, 4, 5.

Учитель сделал три конкретных утверждения об оценках:

1. У Сергея оценка не 5 (Запишем как $О_С \neq 5$).
2. У Виталия оценка не 4 (Запишем как $О_В \neq 4$).
3. У Андрея – 4 (Запишем как $О_А = 4$).

Ключевое условие задачи состоит в том, что только одно из этих трёх утверждений является истинным, а два других — ложными. Рассмотрим поочередно каждый из трёх возможных вариантов.

Вариант 1: Истинным является только первое утверждение ($О_С \neq 5$).

В этом случае:

• Утверждение «У Сергея оценка не 5» — истина.
• Утверждение «У Виталия оценка не 4» — ложь. Это означает, что на самом деле у Виталия оценка 4 ($О_В = 4$).
• Утверждение «У Андрея – 4» — ложь. Это означает, что у Андрея любая оценка, кроме 4 ($О_А \neq 4$).

Итак, мы точно установили, что Виталий получил оценку 4. Поскольку все оценки разные, для Андрея и Сергея остаются оценки 3 и 5. Из первого (истинного) утверждения мы знаем, что у Сергея не 5. Следовательно, Сергею достается оценка 3 ($О_С = 3$). Тогда Андрею остается последняя оценка — 5 ($О_А = 5$).

Проверим полученное распределение: Андрей — 5, Виталий — 4, Сергей — 3. Оценки разные. Проверим истинность исходных утверждений:
1. $О_С \neq 5$ ($3 \neq 5$) — истина.
2. $О_В \neq 4$ ($4 \neq 4$) — ложь.
3. $О_А = 4$ ($5 = 4$) — ложь.
Одно истинное и два ложных утверждения. Этот вариант полностью соответствует условиям задачи.

Вариант 2: Истинным является только второе утверждение ($О_В \neq 4$).

В этом случае:

• Утверждение «У Сергея оценка не 5» — ложь. Это означает, что у Сергея оценка 5 ($О_С = 5$).
• Утверждение «У Виталия оценка не 4» — истина.
• Утверждение «У Андрея – 4» — ложь. Это означает, что у Андрея не 4 ($О_А \neq 4$).

Мы установили, что у Сергея оценка 5. Для Андрея и Виталия остаются оценки 3 и 4. Из второго (истинного) утверждения мы знаем, что у Виталия не 4. Значит, у Виталия должна быть оценка 3 ($О_В = 3$). Тогда Андрею остается оценка 4 ($О_А = 4$). Но это создает противоречие: третье утверждение («У Андрея – 4») должно быть ложным, а у нас оно получается истинным. Значит, этот вариант невозможен.

Вариант 3: Истинным является только третье утверждение ($О_А = 4$).

В этом случае:

• Утверждение «У Сергея оценка не 5» — ложь. Это означает, что у Сергея оценка 5 ($О_С = 5$).
• Утверждение «У Виталия оценка не 4» — ложь. Это означает, что у Виталия оценка 4 ($О_В = 4$).
• Утверждение «У Андрея – 4» — истина. ($О_А = 4$).

В этом варианте и у Андрея, и у Виталия оказывается оценка 4. Это противоречит начальному условию, что все ребята получили разные оценки. Следовательно, этот вариант тоже невозможен.

Единственный непротиворечивый вариант — первый.

Ответ: Андрей получил оценку 5, Виталий — 4, Сергей — 3.