Номер 485, страница 106, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

485 Найди все общие делители чисел:

а) 3523 и 3524;

б) 721 518 и 721 519;

в) 649 и 651;

г) 868 и 882;

д) 12, 18 и 78;

е) 45, 50 и 195.

а)

Чтобы найти все общие делители чисел 3523 и 3524, заметим, что это два последовательных натуральных числа. Пусть их общий делитель равен $d$. Это означает, что и 3523, и 3524 делятся на $d$ без остатка. Если два числа делятся на $d$, то и их разность также делится на $d$.

Найдем разность этих чисел:

$3524 - 3523 = 1$

Так как разность равна 1, то их общий делитель $d$ должен быть делителем числа 1. Единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1.

Следовательно, у чисел 3523 и 3524 есть только один общий делитель.

Ответ: 1.

б)

Числа 721 518 и 721 519 также являются двумя последовательными натуральными числами. Как и в предыдущем пункте, любой их общий делитель должен также делить их разность.

Найдем разность:

$721 519 - 721 518 = 1$

Общий делитель должен быть делителем числа 1. Единственный натуральный делитель числа 1 - это 1.

Таким образом, у данных чисел только один общий делитель.

Ответ: 1.

в)

Чтобы найти общие делители чисел 649 и 651, воспользуемся свойством, что любой общий делитель двух чисел также является делителем их разности.

Разность чисел равна:

$651 - 649 = 2$

Следовательно, общие делители чисел 649 и 651 могут быть только делителями числа 2. Натуральные делители числа 2 - это 1 и 2.

Проверим, является ли 2 общим делителем. Для этого оба числа должны быть четными. Число 649 оканчивается на 9, а число 651 - на 1, оба они нечетные. Значит, 2 не является их общим делителем.

Таким образом, остается только один возможный общий делитель.

Ответ: 1.

г)

Чтобы найти все общие делители чисел 868 и 882, сначала найдем их наибольший общий делитель (НОД). Для этого удобнее всего использовать алгоритм Евклида.

Шаг 1: Разделим большее число (882) на меньшее (868) с остатком.

$882 = 1 \cdot 868 + 14$

Шаг 2: Теперь разделим предыдущий делитель (868) на полученный остаток (14).

$868 = 62 \cdot 14 + 0$

Поскольку остаток равен нулю, НОД равен последнему ненулевому остатку, то есть 14. Итак, НОД(868, 882) = 14.

Все общие делители исходных чисел являются делителями их НОД. Найдем все натуральные делители числа 14.

Делители 14: 1, 2, 7, 14.

Ответ: 1, 2, 7, 14.

д)

Чтобы найти все общие делители чисел 12, 18 и 78, сначала найдем их наибольший общий делитель (НОД). Для этого разложим каждое число на простые множители.

Разложение числа 12: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

Разложение числа 18: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$

Разложение числа 78: $78 = 2 \cdot 39 = 2 \cdot 3 \cdot 13$

НОД равен произведению общих простых множителей, взятых в наименьшей степени. Общие множители для всех трёх чисел — это 2 и 3. Наименьшая степень для 2 это $2^1$, для 3 это $3^1$.

НОД(12, 18, 78) = $2^1 \cdot 3^1 = 6$.

Все общие делители чисел 12, 18 и 78 являются делителями их НОД, то есть числа 6. Найдем все делители числа 6.

Делители 6: 1, 2, 3, 6.

Ответ: 1, 2, 3, 6.

е)

Чтобы найти все общие делители чисел 45, 50 и 195, найдем их НОД, разложив числа на простые множители.

Разложение числа 45: $45 = 5 \cdot 9 = 3^2 \cdot 5$

Разложение числа 50: $50 = 5 \cdot 10 = 2 \cdot 5^2$

Разложение числа 195: $195 = 5 \cdot 39 = 3 \cdot 5 \cdot 13$

Находим общие простые множители. Единственный общий для всех трёх чисел простой множитель — это 5. Наименьшая степень, в которой 5 входит в разложение каждого числа, это первая ($5^1$).

НОД(45, 50, 195) = 5.

Все общие делители исходных чисел являются делителями их НОД, то есть числа 5. Число 5 является простым, поэтому у него только два натуральных делителя.

Делители 5: 1, 5.

Ответ: 1, 5.