Номер 486, страница 106, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

486 Каким может быть наибольший общий делитель:

а) двух соседних чисел;

б) двух последовательных нечётных чисел;

в) двух последовательных чётных чисел?

а) двух соседних чисел;
Пусть даны два соседних натуральных числа, которые можно обозначить как $n$ и $n+1$. Обозначим их наибольший общий делитель (НОД) как $d$. По определению, $n$ делится на $d$ без остатка, и $n+1$ делится на $d$ без остатка.

Согласно свойству делимости, если два числа делятся на $d$, то их разность также делится на $d$.

Найдем разность наших чисел: $(n+1) - n = 1$.

Это означает, что $d$ является делителем числа 1. Единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1.

Следовательно, наибольший общий делитель любых двух соседних чисел всегда равен 1.
Ответ: 1

б) двух последовательных нечётных чисел;
Пусть даны два последовательных нечётных числа. Их можно представить в виде $2n-1$ и $2n+1$, где $n$ — натуральное число. Пусть их наибольший общий делитель равен $d$.

Это значит, что $d$ является делителем как для $2n-1$, так и для $2n+1$.

Следовательно, $d$ должен делить и их разность: $(2n+1) - (2n-1) = 2$.

Натуральными делителями числа 2 являются числа 1 и 2. Значит, $d$ может быть равен 1 или 2.

Однако, исходные числа ($2n-1$ и $2n+1$) являются нечётными, а нечётные числа не делятся на 2.

Поэтому их общий делитель не может быть равен 2.

Единственная оставшаяся возможность — $d=1$.

Таким образом, наибольший общий делитель двух последовательных нечётных чисел всегда равен 1.
Ответ: 1

в) двух последовательных чётных чисел?
Пусть даны два последовательных чётных числа. Их можно представить в виде $2n$ и $2n+2$, где $n$ — натуральное число.

Обозначим их наибольший общий делитель как $d = \text{НОД}(2n, 2n+2)$.

Оба числа являются чётными, то есть делятся на 2. Это значит, что их НОД также должен делиться на 2.

Используем свойство НОД: $\text{НОД}(ka, kb) = k \cdot \text{НОД}(a, b)$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$d = \text{НОД}(2 \cdot n, 2 \cdot (n+1)) = 2 \cdot \text{НОД}(n, n+1)$.

Из пункта а) мы знаем, что наибольший общий делитель двух соседних чисел $n$ и $n+1$ равен 1.

Подставим это значение в нашу формулу:

$d = 2 \cdot 1 = 2$.

Следовательно, наибольший общий делитель двух последовательных чётных чисел всегда равен 2.
Ответ: 2