Номер 488, страница 106, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

488 Определи истинность высказывания:

1) $49 + 63$ делится на 7;

2) $930 - 754$ делится на 10;

3) $3637 + 72$ делится на 36;

4) $3637 + 71$ делится на 36;

5) $77 + 88 + 99$ делится на 11;

6) $222222 - 56$ делится на 111;

7) $15015015 - 60$ делится на 15;

8) $252525 + 624$ делится на 25.

1) 49 + 63 делится на 7;
Для проверки истинности этого высказывания можно использовать свойство делимости суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.
Первое слагаемое, $49$, делится на $7$ без остатка: $49 : 7 = 7$.
Второе слагаемое, $63$, также делится на $7$ без остатка: $63 : 7 = 9$.
Поскольку оба слагаемых делятся на $7$, их сумма тоже будет делиться на $7$.
Проверим: $49 + 63 = 112$. $112 : 7 = 16$.
Высказывание истинно.
Ответ: Истинно.

2) 930 − 754 делится на 10;
Число делится на $10$ тогда и только тогда, когда его последняя цифра – ноль.
Вычислим разность: $930 - 754 = 176$.
Последняя цифра результата – $6$, а не $0$. Следовательно, число $176$ не делится на $10$ без остатка.
Высказывание ложно.
Ответ: Ложно.

3) 3637 + 72 делится на 36;
Используем свойство делимости. Если в сумме одно слагаемое делится на некоторое число, а другое нет, то и вся сумма не делится на это число.
Проверим делимость каждого слагаемого на $36$.
Второе слагаемое, $72$, делится на $36$: $72 = 2 \cdot 36$.
Проверим первое слагаемое, $3637$. Его можно представить как $3600 + 37$. $3600$ делится на $36$ ($3600 = 100 \cdot 36$), а $37$ при делении на $36$ дает остаток $1$. Значит, $3637$ не делится на $36$.
Поскольку одно слагаемое ($72$) делится на $36$, а другое ($3637$) нет, их сумма не будет делиться на $36$.
Высказывание ложно.
Ответ: Ложно.

4) 3637 + 71 делится на 36;
Для проверки этого высказывания удобно использовать остатки от деления на $36$.
Найдем остаток от деления $3637$ на $36$. $3637 = 3600 + 37 = 36 \cdot 100 + 36 \cdot 1 + 1 = 36 \cdot 101 + 1$. Остаток равен $1$.
Найдем остаток от деления $71$ на $36$. $71 = 36 \cdot 1 + 35$. Остаток равен $35$.
Чтобы найти остаток от деления суммы, можно сложить остатки: $1 + 35 = 36$.
Если сумма остатков равна делителю ($36$) или кратна ему, это означает, что остаток от деления исходной суммы на этот делитель равен $0$.
Следовательно, $3637 + 71$ делится на $36$.
Проверим прямым вычислением: $3637 + 71 = 3708$. $3708 : 36 = 103$.
Высказывание истинно.
Ответ: Истинно.

5) 77 + 88 + 99 делится на 11;
Как и в первом пункте, применим свойство делимости суммы.
Первое слагаемое, $77$, делится на $11$: $77 = 7 \cdot 11$.
Второе слагаемое, $88$, делится на $11$: $88 = 8 \cdot 11$.
Третье слагаемое, $99$, делится на $11$: $99 = 9 \cdot 11$.
Поскольку все слагаемые делятся на $11$, их сумма также делится на $11$.
$77 + 88 + 99 = 11 \cdot (7 + 8 + 9) = 11 \cdot 24$.
Высказывание истинно.
Ответ: Истинно.

6) 222 222 − 56 делится на 111;
Используем свойство делимости разности. Если уменьшаемое делится на некоторое число, а вычитаемое нет, то разность не делится на это число.
Проверим уменьшаемое $222 222$. Его можно представить как $222 \cdot 1001$. Так как $222 = 2 \cdot 111$, число $222 222$ делится на $111$.
Проверим вычитаемое $56$. Оно меньше $111$ и не равно нулю, следовательно, не делится на $111$ без остатка.
Так как уменьшаемое делится на $111$, а вычитаемое нет, разность не делится на $111$.
Высказывание ложно.
Ответ: Ложно.

7) 15 015 015 − 60 делится на 15;
Используем свойство делимости разности. Если и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на некоторое число, то и их разность делится на это число.
Проверим делимость на $15$. Число делится на $15$, если оно делится и на $3$, и на $5$.
Уменьшаемое $15 015 015$ оканчивается на $5$, значит, оно делится на $5$. Сумма его цифр $1+5+0+1+5+0+1+5 = 18$ делится на $3$, значит, и само число делится на $3$. Следовательно, $15 015 015$ делится на $15$.
Вычитаемое $60$ также делится на $15$: $60 = 4 \cdot 15$.
Поскольку и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на $15$, их разность тоже делится на $15$.
Высказывание истинно.
Ответ: Истинно.

8) 252 525 + 624 делится на 25.
Число делится на $25$, если число, образованное его последними двумя цифрами, делится на $25$ (т.е. оканчивается на $00, 25, 50$ или $75$).
Проверим слагаемые.
Первое слагаемое, $252 525$, оканчивается на $25$, следовательно, оно делится на $25$.
Второе слагаемое, $624$, оканчивается на $24$. $24$ не делится на $25$, значит, и $624$ не делится на $25$.
Так как одно слагаемое делится на $25$, а второе нет, их сумма не будет делиться на $25$.
Проверим: $252 525 + 624 = 253 149$. Число оканчивается на $49$, $49$ не делится на $25$.
Высказывание ложно.
Ответ: Ложно.