Номер 494, страница 107, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

П 494 Рассматриваются все возможные последовательности двузначных чисел, оканчивающихся на одну и ту же цифру.

а) Какие из чисел последовательности 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93 простые?

б) Во всякой ли из рассматриваемых последовательностей есть простые числа?

в) Имеются ли среди этих последовательностей такие, в которых содержится ровно одно простое число?

а) Какие из чисел последовательности 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93 простые?

Проверим каждое число из данной последовательности. Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя.

• 13 — простое число.

• 23 — простое число.

• 33 — составное число, так как делится на 3 и 11 ($33 = 3 \cdot 11$).

• 43 — простое число.

• 53 — простое число.

• 63 — составное число, так как делится на 3, 7, 9 ($63 = 7 \cdot 9$).

• 73 — простое число.

• 83 — простое число.

• 93 — составное число, так как делится на 3 ($93 = 3 \cdot 31$).

Простыми в этой последовательности являются числа: 13, 23, 43, 53, 73, 83.

Ответ: 13, 23, 43, 53, 73, 83.

б) Во всякой ли из рассматриваемых последовательностей есть простые числа?

Рассматриваемые последовательности — это все двузначные числа, оканчивающиеся на одну и ту же цифру от 0 до 9.

Простое число не может оканчиваться на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8), за исключением самого числа 2. Так как мы рассматриваем только двузначные числа, все числа, оканчивающиеся на четную цифру, будут составными (так как они делятся на 2).

Например, последовательность чисел, оканчивающихся на 2: 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92. Все эти числа четные и больше 2, а значит, являются составными.

Аналогично, любое двузначное число, оканчивающееся на 5, делится на 5 и больше 5, поэтому оно также является составным. Последовательность: 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95.

Таким образом, в последовательностях, оканчивающихся на 0, 2, 4, 5, 6, 8, нет ни одного простого числа.

Ответ: нет.

в) Имеются ли среди этих последовательностей такие, в которых содержится ровно одно простое число?

Из пункта б) мы знаем, что простые числа могут встречаться только в последовательностях, где числа оканчиваются на 1, 3, 7 или 9. Подсчитаем количество простых чисел в каждой из этих последовательностей.

• Последовательность, оканчивающаяся на 1: 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91.
  Простые числа: 11, 31, 41, 61, 71. Всего 5 простых чисел.

• Последовательность, оканчивающаяся на 3: 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93.
  Простые числа: 13, 23, 43, 53, 73, 83. Всего 6 простых чисел.

• Последовательность, оканчивающаяся на 7: 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97.
  Простые числа: 17, 37, 47, 67, 97. Всего 5 простых чисел.

• Последовательность, оканчивающаяся на 9: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99.
  Простые числа: 19, 29, 59, 79, 89. Всего 5 простых чисел.

В последовательностях, где последняя цифра 0, 2, 4, 5, 6, 8, нет простых чисел. В последовательностях, где последняя цифра 1, 3, 7, 9, количество простых чисел равно 5 или 6. Таким образом, нет ни одной последовательности, в которой было бы ровно одно простое число.

Ответ: нет.