Номер 496, страница 107, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

496 Найди НОД и НОК чисел:

1) 6, 18 и 30;

2) 10, 15 и 25.

Какими способами можно это сделать?

1) 6, 18 и 30

Для нахождения Наибольшего Общего Делителя (НОД) и Наименьшего Общего Кратного (НОК) используем метод разложения чисел на простые множители.

Сначала разложим каждое число на простые множители:

$6 = 2 \cdot 3$

$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

Нахождение НОД:

Чтобы найти НОД, нужно выписать общие для всех трёх чисел простые множители и перемножить их. Если множитель встречается в разной степени, мы берём его с наименьшим показателем.

Общими множителями являются 2 и 3. Везде они встречаются как минимум в первой степени ($2^1$ и $3^1$).

НОД(6, 18, 30) = $2 \cdot 3 = 6$.

Нахождение НОК:

Чтобы найти НОК, нужно выписать все простые множители, которые встречаются хотя бы в одном из разложений, и взять каждый из них с наибольшим показателем степени, а затем перемножить.

Множители: 2 (наибольшая степень 1), 3 (наибольшая степень 2) и 5 (наибольшая степень 1).

НОК(6, 18, 30) = $2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$.

Ответ: НОД(6, 18, 30) = 6; НОК(6, 18, 30) = 90.

2) 10, 15 и 25

Разложим числа на простые множители:

$10 = 2 \cdot 5$

$15 = 3 \cdot 5$

$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$

Нахождение НОД:

Единственный общий простой множитель для всех трёх чисел - это 5. Наименьшая степень, в которой он встречается, - первая ($5^1$).

НОД(10, 15, 25) = 5.

Нахождение НОК:

Выписываем все множители с их наибольшими степенями: 2 (в степени 1), 3 (в степени 1) и 5 (в степени 2).

НОК(10, 15, 25) = $2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 3 \cdot 25 = 150$.

Ответ: НОД(10, 15, 25) = 5; НОК(10, 15, 25) = 150.

Какими способами можно это сделать?

Существует несколько способов для нахождения НОД и НОК.

Способы нахождения НОД:

1. Метод перечисления делителей. Находим все делители для каждого числа. Затем выписываем общие для всех чисел делители и выбираем из них самый большой. Этот способ удобен для небольших чисел.

2. Разложение на простые множители. Каждое число разлагается на произведение простых множителей. НОД равен произведению общих для всех разложений простых множителей, взятых с наименьшей из встречающихся степеней. Этот метод был использован выше.

3. Алгоритм Евклида. Это эффективный метод для нахождения НОД двух чисел. Для трёх и более чисел он применяется последовательно: сначала находят НОД первых двух чисел, затем НОД полученного результата и третьего числа, и так далее. Например, НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).

Способы нахождения НОК:

1. Метод перечисления кратных. Для каждого числа выписывается ряд его кратных (результаты умножения на 1, 2, 3...). Первое число, которое встретится во всех рядах, и будет НОК.

2. Разложение на простые множители. Каждое число разлагается на простые множители. НОК равен произведению всех простых множителей из всех разложений, при этом каждый множитель берется с наибольшей из встречающихся степеней.

3. Через НОД. Если НОД чисел уже известен, НОК можно вычислить по формуле. Для двух чисел: $НОК(a, b) = (a \cdot b) / НОД(a, b)$. Для трёх и более чисел метод применяется последовательно: $НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)$.