Номер 491, страница 107, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

491 К задуманному числу прибавили $3$, сумму умножили на $4$, а затем прибавили $5$. Может ли результат равняться $666\;666$?

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте запишем последовательность действий в виде математического выражения. Пусть задуманное число — это $x$.

1. К задуманному числу прибавили 3. Результат: $x + 3$.

2. Полученную сумму умножили на 4. Результат: $(x + 3) \cdot 4$.

3. К этому произведению прибавили 5. Итоговый результат: $(x + 3) \cdot 4 + 5$.

Теперь нам нужно выяснить, может ли этот результат равняться 666 666. Составим уравнение:

$(x + 3) \cdot 4 + 5 = 666666$

Чтобы найти $x$, будем выполнять действия в обратном порядке. Сначала вычтем 5 из обеих частей уравнения:

$(x + 3) \cdot 4 = 666666 - 5$

$(x + 3) \cdot 4 = 666661$

Теперь, чтобы найти значение суммы $(x + 3)$, нужно разделить обе части на 4:

$x + 3 = \frac{666661}{4}$

Если предположить, что задуманное число $x$ было целым, то и сумма $x + 3$ должна быть целым числом. Это означает, что число 666 661 должно делиться на 4 без остатка.

Проверим это с помощью признака делимости на 4. Число делится на 4 нацело, если число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 4. В нашем случае это число 61.

$61 \div 4 = 15$ с остатком 1.

Поскольку 61 не делится на 4 нацело, то и все число 666 661 не делится на 4 нацело. Таким образом, $\frac{666661}{4}$ не является целым числом, а значит, и $x$ не может быть целым числом.

Можно рассуждать и через остатки. Выражение $(x + 3) \cdot 4 + 5$ при делении на 4 должно давать остаток, равный остатку от деления числа 5 на 4, так как $(x + 3) \cdot 4$ делится на 4 без остатка. Остаток от деления 5 на 4 равен 1.

Теперь найдем остаток от деления числа 666 666 на 4. Для этого посмотрим на число, образованное последними двумя цифрами, — 66.

$66 \div 4 = 16$ с остатком 2.

Поскольку остаток от деления левой части уравнения на 4 (равен 1) не совпадает с остатком от деления правой части на 4 (равен 2), такое равенство невозможно при целом $x$.

Ответ: Нет, результат не может равняться 666 666, если задуманное число было целым.