Номер 467, страница 103, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

467 Начерти отрезок CD, равный 4 см, и построй все точки, которые:

1) удалены от точек С и D на расстояние 3 см;

2) удалены от точек С и D на расстояние 2 см;

3) находятся на расстоянии 2 см 5 мм от точки С и на расстоянии 3 см 5 мм от точки D.

Для решения всех пунктов задачи сначала начертим отрезок $CD$ длиной 4 см. Это будет основа для всех построений.

1)
Точки, удаленные от точки $C$ на расстояние 3 см, образуют окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R_C = 3$ см. Аналогично, точки, удаленные от точки $D$ на расстояние 3 см, образуют окружность с центром в точке $D$ и радиусом $R_D = 3$ см. Искомые точки — это точки пересечения этих двух окружностей.
Построение:
1. Начертим отрезок $CD = 4$ см.
2. С помощью циркуля построим дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом 3 см.
3. Построим дугу окружности с центром в точке $D$ и радиусом 3 см.
Поскольку расстояние между центрами окружностей ($d = 4$ см) меньше суммы их радиусов ($R_C + R_D = 3 + 3 = 6$ см) и больше разности их радиусов ($|R_C - R_D| = |3 - 3| = 0$ см), то есть выполняется неравенство $|R_C - R_D| < d < R_C + R_D$, окружности пересекаются в двух точках.
Ответ: существуют две такие точки.

2)
Искомые точки должны одновременно находиться на окружности с центром $C$ и радиусом $R_C = 2$ см и на окружности с центром $D$ и радиусом $R_D = 2$ см.
Построение:
1. Начертим отрезок $CD = 4$ см.
2. Построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом 2 см.
3. Построим окружность с центром в точке $D$ и радиусом 2 см.
Сумма радиусов этих окружностей равна $R_C + R_D = 2 + 2 = 4$ см, что равно расстоянию между их центрами (длине отрезка $CD$). Следовательно, окружности касаются друг друга в одной точке. Эта точка лежит на отрезке $CD$ и является его серединой.
Ответ: существует одна такая точка (середина отрезка $CD$).

3)
Переведем миллиметры в сантиметры: 2 см 5 мм = 2,5 см, 3 см 5 мм = 3,5 см.
Искомые точки находятся на пересечении окружности с центром $C$ и радиусом $R_C = 2,5$ см и окружности с центром $D$ и радиусом $R_D = 3,5$ см.
Построение:
1. Начертим отрезок $CD = 4$ см.
2. Построим дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом 2,5 см.
3. Построим дугу окружности с центром в точке $D$ и радиусом 3,5 см.
Проверим условия пересечения. Расстояние между центрами $d = 4$ см. Сумма радиусов $R_C + R_D = 2,5 + 3,5 = 6$ см. Модуль разности радиусов $|R_C - R_D| = |2,5 - 3,5| = 1$ см. Поскольку выполняется неравенство $1 < 4 < 6$, то есть $|R_C - R_D| < d < R_C + R_D$, окружности пересекаются в двух точках.
Ответ: существуют две такие точки.