Номер 520, страница 111, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

520 Расшифруй ребусы, если одинаковым буквам соответствуют одинаковые числа, а разным – разные.

a) $\begin{array}{r} & & & \text{Д} & \text{В} & \text{А} \\ \times & & & \text{Д} & \text{В} & \text{А} \\ & & * & * & * & * \\ & * & * & * & & \\ * & * & & & & \\ \text{Ч} & \text{Е} & \text{Т} & \text{Ы} & \text{Р} & \text{Е} \end{array}$

б) $\begin{array}{r} \text{Ш Е П Н У Л} \\ \text{Ш Е П Н У Л} \\ + \text{Ш Е П Н У Л} \\ \text{Ш Е П Н У Л} \\ \text{Ш Е П Н У Л} \\ \hline \text{К Р И К Н У Л} \end{array}$

а)

Ребус представляет собой возведение в квадрат трехзначного числа ДВА, в результате которого получается шестизначное число ЧЕТЫРЕ.

$ (ДВА)^2 = ЧЕТЫРЕ $

Запишем пример в столбик, как он представлен в условии:

$ \begin{array}{r} & & Д & В & А \\ \times & & Д & В & А \\ \hline & & & * & * & * & * \\ + & & & * & * & * & \\ & & Е & * & * & \\ \hline & Ч & Е & Т & Ы & Р & Е \\ \end{array} $

Здесь три строки со звездочками (частичные произведения) - это результаты умножения числа ДВА на А, В и Д соответственно, со сдвигом.

1. Третье частичное произведение, $ Д \times ДВА $, в записи имеет вид $ Е** $, то есть является трехзначным числом, начинающимся на цифру Е. Отсюда следует, что $ Д \times ДВА < 1000 $.
2. Поскольку ЧЕТЫРЕ - шестизначное число, то $ (ДВА)^2 \ge 100000 $. Это означает, что $ ДВА \ge \sqrt{100000} \approx 316.2 $, то есть $ ДВА \ge 317 $.
3. Из п.2 следует, что первая цифра Д может быть только 3 или больше.
4. Проверим возможное значение Д. Если $ Д \ge 4 $, то $ Д \times ДВА \ge 4 \times 400 = 1600 $, что является четырехзначным числом. Это противоречит п.1. Следовательно, единственно возможное значение для Д - это 3. $ Д=3 $.
5. Если $ Д=3 $, то из п.1 $ 3 \times ДВА < 1000 $, откуда $ ДВА < 1000 / 3 \approx 333.33 $. Значит, число ДВА находится в диапазоне $ 317 \le ДВА \le 333 $. Это также означает, что цифра В может быть только 1, 2 или 3 (но В не может быть 3, так как $Д=3$).
6. Второе частичное произведение, $ В \times ДВА $, представлено как $ **** $, то есть является четырехзначным числом. Это означает, что $ В \times ДВА \ge 1000 $.
7. Так как $ ДВА \le 333 $, то для выполнения условия $ В \times ДВА \ge 1000 $ необходимо, чтобы $ В \ge 1000 / 333 \approx 3.003 $. То есть $ В $ должно быть 4 или больше.

Возникает противоречие. Из п.5 следует, что $ В < 3 $, а из п.7 следует, что $ В \ge 4 $. Эти два условия не могут выполняться одновременно. Следовательно, данный ребус в том виде, как он представлен в условии, с учетом структуры умножения в столбик, не имеет решения.

Ответ: Ребус содержит противоречивые условия и не имеет решения.

б)

В этом ребусе нужно расшифровать сложение пяти одинаковых шестизначных чисел ШЕПНУЛ, в результате которого получается семизначное число КРИКНУЛ.

$ 5 \times ШЕПНУЛ = КРИКНУЛ $

Поскольку при умножении шестизначного числа на 5 получилось семизначное, старшая цифра Ш не может быть 1. $ Ш \ge 2 $, так как $ 5 \times 1... < 1000000 $. К - первая цифра результата, значит $ К \ne 0 $.

Рассмотрим ребус по разрядам, начиная с последнего:

1. Разряд единиц: $ 5 \times Л $ оканчивается на Л. Это возможно только если $ Л=0 $ или $ Л=5 $.
2. Допустим, $ Л=5 $. Тогда $ 5 \times 5 = 25 $, перенос в следующий разряд равен 2. В разряде десятков имеем: $ 5 \times У + 2 $ должно оканчиваться на У. Проверив все цифры от 0 до 9, находим, что ни одна из них не удовлетворяет этому условию (например, для $ У=2: 5 \times 2 + 2 = 12 $, оканчивается на 2; но $У=7: 5 \times 7 + 2 = 37 $, оканчивается на 7. Но если $У=2$, то $5У+2=12$, $У=2$, а если $У=7$, то $5У+2=37$, $У=7$. Проверим $Н$. $У=2, c_У=1. 5Н+1$ оканчивается на Н. Нет решений. $У=7, c_У=3. 5Н+3$ оканчивается на Н. Нет решений). Следовательно, предположение $ Л=5 $ неверно.
3. Значит, $ Л=0 $. Тогда $ 5 \times 0 = 0 $, переноса нет. В разряде десятков: $ 5 \times У $ оканчивается на У. Это возможно, если $ У=0 $ или $ У=5 $. Так как $ Л=0 $, а разные буквы обозначают разные цифры, то $ У \ne Л $, значит $ У=5 $.
4. Мы имеем $ Л=0, У=5 $. При умножении $ 5 \times У = 25 $, перенос в следующий разряд равен 2. В разряде сотен: $ 5 \times Н + 2 $ оканчивается на Н. Перебирая варианты, находим, что это возможно для $ Н=2 $ ($5 \times 2 + 2 = 12$) и $ Н=7 $ ($5 \times 7 + 2 = 37$).
5. Рассмотрим случай $ Н=2 $. Перенос в следующий разряд $ (5 \times 2 + 2)/10 $ равен 1. В разряде тысяч: $ 5 \times П + 1 $ оканчивается на К. Поскольку $ 5 \times П $ оканчивается на 0 или 5, то $ 5 \times П + 1 $ оканчивается на 1 или 6. Значит, $ К=1 $ или $ К=6 $. При этом $ К $ является переносом из самого старшего разряда ($ 5 \times Ш $), поэтому $ К $ не может быть большим. $ 5 \times Ш + c_E = 10К+Р $. Так как $Ш \ge 2$, $5 \times Ш \ge 10$. Максимальный перенос $ c_E $ равен 4, поэтому $ К $ может быть 1, 2, 3 или 4. Сопоставляя, получаем $ К=1 $. Если $ К=1 $, то $ 5 \times П + 1 $ оканчивается на 1, значит $ П $ - четное число. $ Ш $ при $ К=1 $ может быть 2 или 3. Но $Н=2$, значит $ Ш \ne 2 $, следовательно $ Ш=3 $. Дальнейший анализ этого случая приводит к противоречиям.

6. Рассмотрим случай $ Н=7 $. Перенос в следующий разряд $ (5 \times 7 + 2)/10 $ равен 3. В разряде тысяч: $ 5 \times П + 3 $ оканчивается на К. Значит, К может быть 3 или 8. С другой стороны, $ К $ - это перенос от $ 5 \times Ш $. Сопоставляя возможные значения, получаем, что $ К=3 $. Тогда $ Ш=6 $ (так как $Н=7$, то $Ш\ne7$). Если $ К=3 $, то $ 5 \times П + 3 $ оканчивается на 3, значит $ П $ - четное. Используем уже найденные цифры: $ Л=0, У=5, Н=7, К=3, Ш=6 $. П - четное и не равно 0 или 6. Пусть $ П=2 $.

   Перенос от $П$: $ c_П = (5 \times 2 + 3)/10 = 1 $.

   Разряд десятков тысяч: $ 5 \times Е + 1 $ оканчивается на И.

   Перенос от $Е$: $ c_E = (5 \times Е + 1)/10 $.

   Старший разряд: $ 5 \times Ш + c_E = КР \Rightarrow 5 \times 6 + c_E = 30 + Р \Rightarrow 30 + c_E = 30 + Р \Rightarrow Р=c_E $.

   Итак, $ Р = (5 \times Е + 1)/10 $ (целая часть). Перебираем оставшиеся цифры для Е: 1, 4, 8, 9.

   Если $ Е=8 $, то $ c_E = (5 \times 8 + 1)/10 = 4 $. Тогда $ Р=4 $.

   При этом $ 5 \times Е + 1 = 41 $, значит $ И=1 $.

   Итак, мы нашли все цифры:

   $ Ш=6, Е=8, П=2, Н=7, У=5, Л=0 $

   $ К=3, Р=4, И=1 $

   Все цифры от 0 до 8 различны. Проверим:

   $ 5 \times 682750 = 3413750 $.

   $ КРИКНУЛ = 3413750 $, что соответствует $ К=3, Р=4, И=1, К=3, Н=7, У=5, Л=0 $.

Ответ: $ 5 \times 682750 = 3413750 $