Номер 527, страница 112, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

527 Сделай чертёж к задаче и запиши выражение.

По одной дороге едут два поезда. Сейчас между ними $n$ км. Скорость первого поезда $a$ км/ч, а скорость второго – $b$ км/ч ($a > b$). Какое расстояние будет между поездами через 2 ч, если встречи за это время не произойдёт?

(Рассмотри 4 случая.)

В задаче рассматривается движение двух поездов. Обозначим:

• $n$ (км) — начальное расстояние между поездами.
• $a$ (км/ч) — скорость первого поезда.
• $b$ (км/ч) — скорость второго поезда.
• Известно, что $a > b$.
• $t = 2$ (ч) — время движения.

Необходимо рассмотреть 4 возможных случая движения и для каждого составить выражение для нахождения расстояния между поездами через 2 часа.

Случай 1: Поезда движутся в противоположных направлениях (удаление)

Поезда начинают движение из точек, находящихся на расстоянии $n$ км, и едут в разные стороны.

Чертёж:
← Поезд 2 ($v=b$) ... Начальное расстояние $n$ км ... Поезд 1 ($v=a$) →

В этом случае поезда удаляются друг от друга. Скорость удаления равна сумме их скоростей: $v_{уд} = a + b$.

За 2 часа расстояние между ними увеличится на $2 \cdot (a + b)$ км.

Новое расстояние $S$ будет равно сумме начального расстояния и дополнительного расстояния, на которое они удалились.

Выражение: $S = n + 2 \cdot (a + b)$.

Ответ: $n + 2(a + b)$ км.

Случай 2: Поезда движутся навстречу друг другу (сближение)

Поезда находятся на расстоянии $n$ км и едут навстречу друг другу. По условию, они не встретятся.

Чертёж:
→ Поезд 1 ($v=a$) ... Начальное расстояние $n$ км ... Поезд 2 ($v=b$) ←

В этом случае поезда сближаются. Скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = a + b$.

За 2 часа расстояние между ними сократится на $2 \cdot (a + b)$ км.

Новое расстояние $S$ будет равно разности начального расстояния и расстояния, на которое они сблизились.

Выражение: $S = n - 2 \cdot (a + b)$. (Это возможно только при условии, что $n > 2(a+b)$).

Ответ: $n - 2(a + b)$ км.

Случай 3: Поезда движутся в одном направлении, быстрый поезд ($a$) догоняет медленный ($b$)

Более быстрый поезд (скорость $a$) находится позади и догоняет медленный поезд (скорость $b$).

Чертёж:
... Поезд 1 ($v=a$) → ... Начальное расстояние $n$ км ... Поезд 2 ($v=b$) →

В этом случае расстояние между поездами сокращается. Скорость сближения равна разности скоростей: $v_{сбл} = a - b$.

За 2 часа расстояние между ними сократится на $2 \cdot (a - b)$ км.

Новое расстояние $S$ будет равно разности начального расстояния и расстояния, на которое они сблизились.

Выражение: $S = n - 2 \cdot (a - b)$. (Это возможно только при условии, что $n > 2(a-b)$).

Ответ: $n - 2(a - b)$ км.

Случай 4: Поезда движутся в одном направлении, медленный поезд ($b$) находится позади быстрого ($a$)

Более медленный поезд (скорость $b$) находится позади, а более быстрый (скорость $a$) — впереди. Они движутся в одном направлении.

Чертёж:
... Поезд 2 ($v=b$) → ... Начальное расстояние $n$ км ... Поезд 1 ($v=a$) →

В этом случае расстояние между поездами увеличивается. Скорость удаления равна разности скоростей: $v_{уд} = a - b$.

За 2 часа расстояние между ними увеличится на $2 \cdot (a - b)$ км.

Новое расстояние $S$ будет равно сумме начального расстояния и дополнительного расстояния, на которое они удалились.

Выражение: $S = n + 2 \cdot (a - b)$.

Ответ: $n + 2(a - b)$ км.