Номер 530, страница 114, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

530 Докажи, не выполняя вычислений, что:

1) сумма $530 + 7100$ делится на 10;

2) сумма $497 + 21500$ не делится на 10;

3) разность $58930 - 760$ кратна 10;

4) разность $8410 - 2927$ не кратна 10;

5) произведение $39 \cdot 820 \cdot 713$ делится на 10;

6) число 10 является делителем произведения $47 \cdot (1310 - 490)$.

1) сумма 530 + 7100 делится на 10
Для того чтобы число делилось на 10, оно должно оканчиваться на 0. Свойство делимости суммы: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число.
Первое слагаемое, 530, оканчивается на 0, значит, оно делится на 10.
Второе слагаемое, 7100, оканчивается на 0, значит, оно тоже делится на 10.
Поскольку оба слагаемых делятся на 10, их сумма также делится на 10. Можно также рассуждать, используя последние цифры: последняя цифра суммы будет равна последней цифре суммы последних цифр слагаемых: $0 + 0 = 0$. Так как результат оканчивается на 0, он делится на 10.
Ответ: доказано.

2) сумма 497 + 21 500 не делится на 10
Свойство делимости суммы: если одно слагаемое делится на некоторое число, а другое не делится, то их сумма не делится на это число.
Первое слагаемое, 497, оканчивается на 7, значит, оно не делится на 10.
Второе слагаемое, 21 500, оканчивается на 0, значит, оно делится на 10.
Следовательно, их сумма не делится на 10. Последняя цифра суммы будет равна последней цифре суммы последних цифр слагаемых: $7 + 0 = 7$. Так как результат оканчивается на 7, он не делится на 10.
Ответ: доказано.

3) разность 58 930 – 760 кратна 10
Выражение "кратна 10" означает, что число делится на 10. Свойство делимости разности: если уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое число, то и их разность делится на это число.
Уменьшаемое, 58 930, оканчивается на 0, следовательно, оно кратно 10.
Вычитаемое, 760, оканчивается на 0, следовательно, оно тоже кратно 10.
Так как оба числа кратны 10, их разность также кратна 10. Последняя цифра разности определяется последними цифрами уменьшаемого и вычитаемого: $0 - 0 = 0$. Так как результат оканчивается на 0, он кратен 10.
Ответ: доказано.

4) разность 8410 – 2927 не кратна 10
Свойство делимости разности: если уменьшаемое делится на некоторое число, а вычитаемое не делится, то и разность не делится на это число.
Уменьшаемое, 8410, оканчивается на 0, значит, оно кратно 10.
Вычитаемое, 2927, оканчивается на 7, значит, оно не кратно 10.
Следовательно, их разность не кратна 10. Чтобы найти последнюю цифру разности, нужно из последней цифры уменьшаемого (0) вычесть последнюю цифру вычитаемого (7). Для этого нужно "занять" десяток у предыдущего разряда. Последняя цифра результата будет такой же, как у разности $10 - 7 = 3$. Так как результат оканчивается на 3, он не кратен 10.
Ответ: доказано.

5) произведение 39 · 820 · 713 делится на 10
Свойство делимости произведения: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число.
Рассмотрим множители: 39, 820, 713.
Множитель 820 оканчивается на 0, следовательно, он делится на 10.
Поскольку один из множителей делится на 10, то и все произведение $39 \cdot 820 \cdot 713$ делится на 10.
Ответ: доказано.

6) число 10 является делителем произведения 47 · (1310 – 490)
Утверждение "число 10 является делителем произведения" равносильно тому, что произведение делится на 10.
Рассмотрим выражение $47 \cdot (1310 - 490)$. Оно состоит из двух множителей: 47 и $(1310 - 490)$.
Вычислим, делится ли на 10 второй множитель, который является разностью.
Уменьшаемое (1310) и вычитаемое (490) оканчиваются на 0, значит, оба делятся на 10.
Разность двух чисел, делящихся на 10, также делится на 10. Последняя цифра разности $1310 - 490$ будет $0 - 0 = 0$.
Поскольку второй множитель $(1310 - 490)$ делится на 10, то и все произведение $47 \cdot (1310 - 490)$ делится на 10.
Ответ: доказано.