Номер 523, страница 112, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

523 Составь множество делителей и множество кратных числа 15, а затем — числа 20. Запиши множества их общих делителей и общих кратных. Используя эти множества, найди $\text{НОК}$ и $\text{НОД}$ чисел 15 и 20.

1. Множество делителей и множество кратных числа 15
Делители числа – это натуральные числа, на которые исходное число делится без остатка. Для числа 15 это 1, 3, 5, 15. Запишем это в виде множества, которое обозначим $D(15)$.
$D(15) = \{1, 3, 5, 15\}$.
Кратные числа – это числа, которые делятся на исходное число без остатка. Множество кратных для любого числа бесконечно. Запишем несколько первых кратных для числа 15, обозначив множество $K(15)$.
$K(15) = \{15, 30, 45, 60, 75, 90, \ldots\}$.
Ответ: Множество делителей числа 15: $D(15) = \{1, 3, 5, 15\}$. Множество кратных числа 15: $K(15) = \{15, 30, 45, 60, \ldots\}$.

2. Множество делителей и множество кратных числа 20
Аналогично найдем множество делителей и множество кратных для числа 20.
Множество делителей числа 20, $D(20)$:
$D(20) = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$.
Множество кратных числа 20, $K(20)$:
$K(20) = \{20, 40, 60, 80, 100, 120, \ldots\}$.
Ответ: Множество делителей числа 20: $D(20) = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$. Множество кратных числа 20: $K(20) = \{20, 40, 60, 80, \ldots\}$.

3. Множества общих делителей и общих кратных чисел 15 и 20
Общие делители чисел 15 и 20 – это числа, которые являются делителями и для 15, и для 20. Это элементы, принадлежащие обоим множествам $D(15)$ и $D(20)$.
$D(15) = \{1, 3, 5, 15\}$
$D(20) = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$
Общими являются числа 1 и 5. Множество общих делителей: $\{1, 5\}$.
Общие кратные чисел 15 и 20 – это числа, которые кратны и 15, и 20. Это элементы, принадлежащие обоим множествам $K(15)$ и $K(20)$.
$K(15) = \{15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, \ldots\}$
$K(20) = \{20, 40, 60, 80, 100, 120, \ldots\}$
Первые общие кратные: 60, 120. Множество общих кратных: $\{60, 120, 180, \ldots\}$.
Ответ: Множество общих делителей: $\{1, 5\}$. Множество общих кратных: $\{60, 120, 180, \ldots\}$.

4. Нахождение НОД и НОК чисел 15 и 20
НОД (Наибольший Общий Делитель) – это самый большой элемент в множестве общих делителей. Из множества общих делителей $\{1, 5\}$ наибольшим является число 5.
НОД(15, 20) = 5.
НОК (Наименьшее Общее Кратное) – это самый маленький элемент в множестве общих кратных. Из множества общих кратных $\{60, 120, 180, \ldots\}$ наименьшим является число 60.
НОК(15, 20) = 60.
Ответ: НОД(15, 20) = 5, НОК(15, 20) = 60.