Номер 558, страница 118, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

558 1) Автомобиль и мотоцикл едут по одной дороге в одном направлении. Сейчас между ними 105 км. Чему равна скорость мотоцикла, если автомобиль, скорость которого равна $90 \text{ км/ч}$, догнал его через 3 ч?

2) Всадник выехал из города N со скоростью $720 \text{ м/мин}$. Через 5 мин вслед за ним выехал другой всадник, скорость которого составляет $\frac{9}{8}$ скорости первого. Через сколько времени и на каком расстоянии от города N второй всадник догонит первого?

1)

Пусть $v_а$ – скорость автомобиля, $v_м$ – скорость мотоцикла.

По условию, $v_а = 90$ км/ч.

Автомобиль догоняет мотоцикл, значит, его скорость больше.

Скорость, с которой автомобиль догоняет мотоцикл (скорость сближения), равна разности их скоростей: $v_{сбл} = v_а - v_м$.

За 3 часа автомобиль сократил расстояние в 105 км.

Найдем скорость сближения:

$v_{сбл} = \frac{S}{t} = \frac{105 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 35$ км/ч.

Теперь мы можем найти скорость мотоцикла:

$v_м = v_а - v_{сбл} = 90 \text{ км/ч} - 35 \text{ км/ч} = 55$ км/ч.
Ответ: 55 км/ч.

2)

Пусть $v_1$ – скорость первого всадника, $v_2$ – скорость второго всадника.

По условию, $v_1 = 720$ м/мин.

Найдем скорость второго всадника:

$v_2 = \frac{9}{8} \cdot v_1 = \frac{9}{8} \cdot 720 \text{ м/мин} = 9 \cdot 90 \text{ м/мин} = 810$ м/мин.

Первый всадник выехал на 5 минут раньше. За это время он проехал расстояние:

$S_{фора} = v_1 \cdot t = 720 \text{ м/мин} \cdot 5 \text{ мин} = 3600$ м.

Это расстояние, которое должен преодолеть второй всадник, чтобы догнать первого.

Найдем скорость сближения (разность скоростей, так как они едут в одном направлении):

$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 810 \text{ м/мин} - 720 \text{ м/мин} = 90$ м/мин.

Найдем время, через которое второй всадник догонит первого (с момента своего выезда):

$t_{встречи} = \frac{S_{фора}}{v_{сбл}} = \frac{3600 \text{ м}}{90 \text{ м/мин}} = 40$ мин.

Теперь найдем, на каком расстоянии от города N произойдет встреча. Для этого вычислим путь, который проедет второй всадник за 40 минут:

$S_{встречи} = v_2 \cdot t_{встречи} = 810 \text{ м/мин} \cdot 40 \text{ мин} = 32400$ м.

Можно перевести это расстояние в километры: $32400 \text{ м} = 32,4$ км.
Ответ: через 40 минут на расстоянии 32400 м (или 32,4 км) от города N.