Номер 565, страница 119, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

565 1) В 1632 году, в год поступления в мушкетёры, Д'Артаньян участвовал в дуэлях с гвардейцами кардинала и другими противниками вдвое чаще, чем Арамис. Атос провёл в том году 16 дуэлей, что составило $\frac{2}{3}$ дуэлей, проведённых Д'Артаньяном, а число дуэлей Портоса оказалось равным $\frac{4}{7}$ от общего числа дуэлей Атоса и Арамиса. Сколько всего дуэлей провели четыре друга в 1632 году?

2) Арамис и Атос выехали в 9 ч вечера навстречу друг другу из Парижа и Руана, расстояние между которыми 124 км. Арамис скакал со скоростью 29 км/ч, а Атос со скоростью на 4 км/ч большей. В котором часу они встретились?

3) Расстояние от Парижа до замка кардинала Ришелье 220 км. Графиня Винтер выехала из Парижа в замок кардинала со скоростью 24 км/ч. Через 2 ч мушкетёры бросились в погоню за миледи со скоростью 36 км/ч. Успела ли миледи укрыться в замке?

4) Четыре мушкетёра отправились из Парижа в Лондон за подвесками королевы со скоростью 700 м/мин. Через 10 мин вдогонку за мушкетёрами поскакали гвардейцы кардинала со скоростью 800 м/мин. На каком расстоянии от Парижа произошла стычка между мушкетёрами и гвардейцами?

1) Для решения задачи обозначим количество дуэлей каждого мушкетёра первой буквой его имени: Д - Д'Артаньян, А - Арамис, Т - Атос, П - Портос.
1. Найдём количество дуэлей Д'Артаньяна. Известно, что Атос провёл 16 дуэлей, и это составило $ \frac{2}{3} $ от дуэлей Д'Артаньяна.
$Т = \frac{2}{3} \cdot Д$
$16 = \frac{2}{3} \cdot Д$
$Д = 16 \div \frac{2}{3} = 16 \cdot \frac{3}{2} = 24$ дуэли.
2. Найдём количество дуэлей Арамиса. Д'Артаньян участвовал в дуэлях вдвое чаще, чем Арамис.
$Д = 2 \cdot А$
$24 = 2 \cdot А$
$А = 24 \div 2 = 12$ дуэлей.
3. Найдём количество дуэлей Портоса. Число его дуэлей равно $ \frac{4}{7} $ от общего числа дуэлей Атоса и Арамиса.
$П = \frac{4}{7} \cdot (Т + А)$
$П = \frac{4}{7} \cdot (16 + 12) = \frac{4}{7} \cdot 28 = 4 \cdot 4 = 16$ дуэлей.
4. Найдём общее количество дуэлей.
$Д + А + Т + П = 24 + 12 + 16 + 16 = 68$ дуэлей.
Ответ: 68 дуэлей.

2) Арамис и Атос движутся навстречу друг другу, поэтому для нахождения времени до встречи их скорости нужно сложить. Эта суммарная скорость называется скоростью сближения.
1. Найдём скорость Атоса. Она на 4 км/ч больше скорости Арамиса.
$29 + 4 = 33$ км/ч.
2. Найдём скорость сближения Атоса и Арамиса.
$v_{сбл} = 29 + 33 = 62$ км/ч.
3. Найдём время, через которое они встретятся. Для этого разделим расстояние между ними на скорость сближения.
$t = S \div v_{сбл} = 124 \div 62 = 2$ часа.
4. Определим время встречи. Они выехали в 9 часов вечера (21:00) и встретились через 2 часа.
21:00 + 2 часа = 23:00, или 11 часов вечера.
Ответ: в 11 часов вечера (23:00).

3) Чтобы определить, успела ли миледи укрыться в замке, нужно выяснить, догонят ли её мушкетёры до того, как она преодолеет 220 км.
1. Найдём, какое расстояние проехала миледи за 2 часа, пока мушкетёры не начали погоню. Это её фора.
$S_{фора} = v_{миледи} \cdot t_{задержки} = 24 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 48$ км.
2. Мушкетёры догоняют миледи. Найдём скорость их сближения (скорость погони), вычитая из большей скорости меньшую.
$v_{сбл} = v_{мушкетёров} - v_{миледи} = 36 - 24 = 12$ км/ч.
3. Найдём время, которое потребуется мушкетёрам, чтобы догнать миледи (сократить разрыв в 48 км).
$t_{погони} = S_{фора} \div v_{сбл} = 48 \div 12 = 4$ часа.
4. Теперь найдём, на каком расстоянии от Парижа произойдёт встреча. Для этого умножим скорость мушкетёров на время погони.
$S_{встречи} = v_{мушкетёров} \cdot t_{погони} = 36 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 144$ км.
5. Сравним расстояние до места встречи с расстоянием до замка.
$144 \text{ км} < 220 \text{ км}$.
Поскольку мушкетёры догнали миледи на 144-м километре от Парижа, а до замка было 220 км, она не успела укрыться в замке.
Ответ: нет, не успела.

4) Это задача на движение вдогонку.
1. Найдём, какое расстояние успели проехать мушкетёры за 10 минут, пока гвардейцы не начали погоню.
$S_{фора} = v_{мушкетёров} \cdot t_{задержки} = 700 \text{ м/мин} \cdot 10 \text{ мин} = 7000$ метров.
2. Найдём скорость сближения (скорость погони) гвардейцев и мушкетёров.
$v_{сбл} = v_{гвардейцев} - v_{мушкетёров} = 800 - 700 = 100$ м/мин.
3. Найдём время, через которое гвардейцы догонят мушкетёров. Это время отсчитывается с момента старта гвардейцев.
$t_{погони} = S_{фора} \div v_{сбл} = 7000 \div 100 = 70$ минут.
4. Найдём расстояние от Парижа, на котором произошла стычка. Для этого умножим скорость гвардейцев на время, которое они были в пути до встречи.
$S_{встречи} = v_{гвардейцев} \cdot t_{погони} = 800 \text{ м/мин} \cdot 70 \text{ мин} = 56000$ метров.
5. Переведём расстояние в километры: $56000 \text{ м} = 56$ км.
Ответ: на расстоянии 56 км от Парижа.