Номер 569, страница 120, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

569 Определи, какие цифры надо поставить вместо букв А и Б, чтобы получилось верное равенство: $АБ \cdot А \cdot Б = БББ$. (Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные.)

Запишем данное равенство в виде математического уравнения. Запись $АБ$ обозначает двузначное число, которое можно представить как $10 \cdot А + Б$. Запись $БББ$ обозначает трехзначное число, состоящее из одинаковых цифр, которое можно представить как $100 \cdot Б + 10 \cdot Б + Б = 111 \cdot Б$.

Исходное равенство $АБ \cdot А \cdot Б = БББ$ можно переписать в виде:

$(10 \cdot А + Б) \cdot А \cdot Б = 111 \cdot Б$

По условию, $А$ и $Б$ — это разные цифры. Так как $БББ$ — это трехзначное число, то его первая цифра $Б$ не может быть равна нулю ($Б \neq 0$). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $Б$:

$(10 \cdot А + Б) \cdot А = 111$

Левая часть уравнения представляет собой произведение двузначного числа $АБ$ на однозначное число $А$. Таким образом, мы получили уравнение:

$АБ \cdot А = 111$

Теперь необходимо разложить число 111 на множители. Один из множителей ($А$) должен быть однозначным числом (и не равен 0, так как $АБ$ — двузначное число), а второй ($АБ$) — двузначным, первая цифра которого совпадает с первым множителем.

Разложим число 111 на простые множители:

$111 = 3 \cdot 37$

Мы получили два множителя: 3 и 37. Сравним их с нашими переменными $А$ и $АБ$. Единственный возможный вариант, удовлетворяющий условиям, это:

$А = 3$

$АБ = 37$

Из второго равенства ($АБ = 37$) следует, что $А = 3$ и $Б = 7$. Это соответствует нашему первому выводу ($А = 3$). Также выполняется условие, что $А \neq Б$ (так как $3 \neq 7$).

Выполним проверку, подставив найденные значения $А=3$ и $Б=7$ в исходное равенство:

$37 \cdot 3 \cdot 7 = 777$

$111 \cdot 7 = 777$

$777 = 777$

Равенство верное.

Ответ: Вместо буквы А надо поставить цифру 3, а вместо буквы Б — цифру 7.