Номер 571, страница 120, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

571 Докажи, что если к любому трёхзначному числу приписать трёхзначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится число, делящееся на 11.

Пусть исходное трёхзначное число записано с помощью цифр $a, b, c$ и имеет вид $\overline{abc}$. В десятичной системе счисления его значение равно $100a + 10b + c$. Поскольку число является трёхзначным, его первая цифра $a$ не может быть нулём ($a \neq 0$).

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $\overline{cba}$.

Если к первому числу приписать второе, то получится шестизначное число, цифры которого следуют в порядке $a, b, c, c, b, a$. Запишем это число как $\overline{abccba}$.

Чтобы доказать, что полученное число делится на 11, воспользуемся признаком делимости на 11. Число делится на 11 в том и только в том случае, если его знакопеременная сумма цифр делится на 11. Знакопеременная сумма — это сумма цифр, взятых поочерёдно со знаками «плюс» и «минус».

Для числа $\overline{abccba}$ вычислим знакопеременную сумму его цифр, начиная с первой:

$S = a - b + c - c + b - a$

Теперь сгруппируем одинаковые цифры:

$S = (a - a) + (-b + b) + (c - c) = 0 + 0 + 0 = 0$

Сумма получилась равной 0. Так как 0 делится на любое целое число, кроме самого себя, то 0 делится и на 11 ($0 \div 11 = 0$).

Поскольку знакопеременная сумма цифр числа $\overline{abccba}$ равна 0 и делится на 11, то и само число $\overline{abccba}$ делится на 11. Это верно для любого трёхзначного числа $\overline{abc}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как знакопеременная сумма цифр полученного шестизначного числа всегда равна нулю, а ноль делится на 11.