Номер 577, страница 122, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

577 Алёша зашёл в магазин «Школьные принадлежности» и купил тетрадь за 30 р., альбом для рисования за 60 р., три шариковые ручки и девять цветных карандашей, цену которых он не знал. Кассир попросил с него 140 р. 80 к., с чем Алёша не согласился. Кассир пересчитал и исправил ошибку. Как Алёша догадался, что кассир в первый раз ошибся?

Для начала определим стоимость товаров, цену которых Алёша знал. Это тетрадь и альбом для рисования.

Стоимость известных товаров: $30 \text{ рублей} + 60 \text{ рублей} = 90 \text{ рублей}$.

Кассир назвал общую сумму 140 рублей 80 копеек. Вычтем из неё стоимость тетради и альбома, чтобы узнать, какую сумму кассир посчитал за ручки и карандаши:

$140 \text{ р. } 80 \text{ к.} - 90 \text{ р.} = 50 \text{ р. } 80 \text{ к.}$

Как Алёша догадался, что кассир в первый раз ошибся?

Алёша купил 3 шариковые ручки и 9 цветных карандашей. Пусть цена одной ручки равна $x$, а цена одного карандаша — $y$. Тогда их общая стоимость выражается формулой $3x + 9y$.

В этом выражении можно вынести общий множитель 3 за скобки: $3x + 9y = 3(x + 3y)$.

Это означает, что суммарная стоимость трёх ручек и девяти карандашей, какой бы ни была их цена, должна быть кратна трём, то есть делиться на 3 без остатка.

Проверим, делится ли на 3 сумма, которую насчитал кассир за эти товары — 50 рублей 80 копеек. Чтобы было удобнее, переведём эту сумму в копейки: $50 \text{ р. } 80 \text{ к.} = 5080 \text{ копеек}$.

Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Сумма цифр числа 5080 равна: $5 + 0 + 8 + 0 = 13$.

Число 13 не делится на 3 нацело ($13 \div 3 = 4$ с остатком 1). Следовательно, и число 5080 не делится на 3.

Поскольку стоимость ручек и карандашей должна быть кратна 3, а у кассира получилась сумма (50 р. 80 к.), которая на 3 не делится, Алёша сразу понял, что в расчёте была допущена ошибка.

Ответ: Алёша знал, что общая стоимость трёх ручек и девяти карандашей должна делиться на 3. Сумма, которую насчитал кассир за эти товары (50 рублей 80 копеек), на 3 не делилась, поэтому Алёша понял, что расчёт неверный.