Номер 581, страница 123, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

581 Пользуясь свойствами и признаками делимости, установи, какие из приведённых выражений делятся:

а) на 2;

б) на 3;

в) на 5;

г) на 9.

Ответ запиши в виде буквенного кода (например: krs).

k $270+318$

l $405+990$

m $834-782$

n $580-225$

r $27 \cdot 49 \cdot 275$

s $416 \cdot 391 \cdot 59$

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами и признаками делимости чисел, не вычисляя значения выражений полностью, где это возможно.

а)

Проверим, какие из выражений делятся на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра четная (0, 2, 4, 6, 8).
k: $270 + 318$. Оба слагаемых (270 и 318) — четные числа, так как оканчиваются на 0 и 8. Сумма двух четных чисел — четное число. Следовательно, выражение k делится на 2.
l: $405 + 990$. Слагаемое 405 — нечетное, а 990 — четное. Сумма нечетного и четного чисел — нечетное число. Следовательно, выражение l не делится на 2.
m: $834 - 782$. Уменьшаемое (834) и вычитаемое (782) — четные числа. Разность двух четных чисел — четное число. Следовательно, выражение m делится на 2.
n: $580 - 225$. Уменьшаемое (580) — четное, а вычитаемое (225) — нечетное. Разность четного и нечетного чисел — нечетное число. Следовательно, выражение n не делится на 2.
r: $27 \cdot 49 \cdot 275$. Все множители — нечетные числа. Произведение нечетных чисел всегда нечетно. Следовательно, выражение r не делится на 2.
s: $416 \cdot 391 \cdot 59$. Множитель 416 — четное число. Если хотя бы один из множителей в произведении четный, то все произведение будет четным. Следовательно, выражение s делится на 2.
Выражения, которые делятся на 2: k, m, s.
Ответ: kms

б)

Проверим, какие из выражений делятся на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
k: $270 + 318$. Для 270 сумма цифр $2+7+0=9$, что делится на 3. Для 318 сумма цифр $3+1+8=12$, что делится на 3. Если оба слагаемых делятся на 3, то и их сумма делится на 3. Следовательно, k делится на 3.
l: $405 + 990$. Для 405 сумма цифр $4+0+5=9$, что делится на 3. Для 990 сумма цифр $9+9+0=18$, что делится на 3. Сумма двух чисел, делящихся на 3, также делится на 3. Следовательно, l делится на 3.
m: $834 - 782$. Для 834 сумма цифр $8+3+4=15$, что делится на 3. Для 782 сумма цифр $7+8+2=17$, что не делится на 3. Разность числа, делящегося на 3, и числа, не делящегося на 3, не делится на 3. Следовательно, m не делится на 3.
n: $580 - 225$. Для 580 сумма цифр $5+8+0=13$, не делится на 3. Для 225 сумма цифр $2+2+5=9$, делится на 3. Разность не будет делиться на 3. Следовательно, n не делится на 3.
r: $27 \cdot 49 \cdot 275$. Произведение делится на 3, если хотя бы один из множителей делится на 3. Множитель 27 делится на 3. Следовательно, все произведение r делится на 3.
s: $416 \cdot 391 \cdot 59$. Проверим суммы цифр множителей: $4+1+6=11$ (не делится на 3), $3+9+1=13$ (не делится на 3), $5+9=14$ (не делится на 3). Ни один множитель не делится на 3, значит и произведение s не делится на 3.
Выражения, которые делятся на 3: k, l, r.
Ответ: klr

в)

Проверим, какие из выражений делятся на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
k: $270 + 318$. 270 делится на 5, а 318 — нет. Сумма не будет делиться на 5. (Результат 588). Следовательно, k не делится на 5.
l: $405 + 990$. 405 оканчивается на 5, а 990 — на 0. Оба слагаемых делятся на 5. Их сумма также будет делиться на 5. Следовательно, l делится на 5.
m: $834 - 782$. Ни одно из чисел не оканчивается на 0 или 5. Разность равна 52, что не делится на 5. Следовательно, m не делится на 5.
n: $580 - 225$. 580 оканчивается на 0, а 225 — на 5. Оба числа делятся на 5. Их разность также будет делиться на 5. Следовательно, n делится на 5.
r: $27 \cdot 49 \cdot 275$. Произведение делится на 5, если хотя бы один из множителей делится на 5. Множитель 275 оканчивается на 5, значит, он делится на 5. Следовательно, все произведение r делится на 5.
s: $416 \cdot 391 \cdot 59$. Ни один из множителей не оканчивается на 0 или 5. Следовательно, произведение s не делится на 5.
Выражения, которые делятся на 5: l, n, r.
Ответ: lnr

г)

Проверим, какие из выражений делятся на 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
k: $270 + 318$. Для 270 сумма цифр $2+7+0=9$, что делится на 9. Для 318 сумма цифр $3+1+8=12$, что не делится на 9. Сумма не будет делиться на 9. Следовательно, k не делится на 9.
l: $405 + 990$. Для 405 сумма цифр $4+0+5=9$, что делится на 9. Для 990 сумма цифр $9+9+0=18$, что делится на 9. Сумма двух чисел, делящихся на 9, также делится на 9. Следовательно, l делится на 9.
m: $834 - 782$. Сумма цифр 834 равна 15 (не делится на 9), сумма цифр 782 равна 17 (не делится на 9). Разность $834-782 = 52$, сумма цифр $5+2=7$, не делится на 9. Следовательно, m не делится на 9.
n: $580 - 225$. Сумма цифр 580 равна 13 (не делится на 9). Сумма цифр 225 равна 9 (делится на 9). Разность не будет делиться на 9. Следовательно, n не делится на 9.
r: $27 \cdot 49 \cdot 275$. Произведение делится на 9, если хотя бы один из множителей делится на 9. Множитель 27 делится на 9. Следовательно, все произведение r делится на 9.
s: $416 \cdot 391 \cdot 59$. Суммы цифр множителей (11, 13, 14) не делятся на 9. Следовательно, произведение s не делится на 9.
Выражения, которые делятся на 9: l, r.
Ответ: lr