Номер 578, страница 122, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

578 Придумай трёхзначное число, которое:

1) делится на 3 и на 5, но не делится на 10;

2) делится на 9 и на 10, но не делится на 25;

3) делится на 2 и на 9, но не делится на 5;

4) не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 9.

1) Искомое трёхзначное число должно делиться на 3 и на 5, но не делиться на 10. Для этого необходимо выполнение нескольких условий. Во-первых, чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться на 0 или 5. Во-вторых, чтобы число не делилось на 10, оно не должно оканчиваться на 0. Объединяя эти два условия, получаем, что последняя цифра искомого числа должна быть 5. В-третьих, чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. Пусть наше число имеет вид $ab5$. Сумма его цифр равна $a+b+5$. Нам нужно подобрать такие цифры $a$ и $b$ (где $a \neq 0$), чтобы сумма $a+b+5$ делилась на 3. Возьмём самое простое: пусть $a=1$. Тогда сумма $1+b+5=6+b$ должна делиться на 3. Так как 6 уже делится на 3, то и $b$ должно быть кратно 3. Самое простое значение для $b$ — это 0. Получаем число 105. Проверим его: оно трёхзначное, оканчивается на 5 (делится на 5, но не на 10), и сумма его цифр $1+0+5=6$ делится на 3. Таким образом, число 105 удовлетворяет всем условиям.

Ответ: 105.

2) Искомое трёхзначное число должно делиться на 9 и на 10, но не делиться на 25. Чтобы число делилось на 10, оно должно оканчиваться на 0. Значит, число имеет вид $ab0$. Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр $a+b+0 = a+b$ должна быть кратна 9. Чтобы число не делилось на 25, оно не должно оканчиваться на 00, 25, 50 или 75. Так как последняя цифра 0, то оно не должно оканчиваться на 00 или 50. Это означает, что цифра десятков $b$ не может быть равна 0 или 5. Нам нужно найти такие цифры $a$ и $b$ ($a \neq 0$, $b \neq 0, b \neq 5$), чтобы их сумма $a+b$ была кратна 9. Возможные суммы: 9 или 18. Если $a+b=9$, то можно взять, например, $a=1$ и $b=8$. Получаем число 180. Проверим его: оно трёхзначное, оканчивается на 0 (делится на 10), сумма цифр $1+8+0=9$ (делится на 9), и оно не оканчивается на 00 или 50 (не делится на 25). Таким образом, число 180 удовлетворяет всем условиям.

Ответ: 180.

3) Искомое трёхзначное число должно делиться на 2 и на 9, но не делиться на 5. Чтобы число делилось на 2, оно должно быть чётным, то есть оканчиваться на 0, 2, 4, 6 или 8. Чтобы число не делилось на 5, оно не должно оканчиваться на 0 или 5. Объединяя эти условия, получаем, что последняя цифра может быть 2, 4, 6 или 8. Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна быть кратна 9. Пусть последняя цифра равна 2. Тогда число имеет вид $ab2$. Сумма цифр $a+b+2$ должна быть кратна 9. Ближайшее подходящее кратное 9 — это 9. Значит, $a+b+2=9$, откуда $a+b=7$. Возьмём $a=1$, тогда $b=6$. Получаем число 162. Проверим его: оно трёхзначное, оканчивается на 2 (делится на 2, но не на 5), и сумма его цифр $1+6+2=9$ (делится на 9). Таким образом, число 162 удовлетворяет всем условиям.

Ответ: 162.

4) Искомое трёхзначное число не должно делиться ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 9. Условие "не делится на 2" означает, что число нечётное. Условие "не делится на 5" означает, что оно не оканчивается на 0 или 5. Объединив эти два условия, получаем, что последняя цифра числа может быть 1, 3, 7 или 9. Условие "не делится на 3" означает, что сумма цифр числа не кратна 3. Если число не делится на 3, оно автоматически не делится и на 9. Итак, ищем трёхзначное число, оканчивающееся на 1, 3, 7 или 9, с суммой цифр, не кратной 3. Возьмём самое простое такое число — 101. Проверим его: оно трёхзначное. Последняя цифра 1, значит, оно не делится на 2 и на 5. Сумма цифр $1+0+1=2$. Так как 2 не делится на 3, то и число 101 не делится на 3 (и, следовательно, на 9). Таким образом, число 101 удовлетворяет всем условиям.

Ответ: 101.