Номер 574, страница 121, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

574 Докажи или опровергни утверждения.

1) Если число делится на 3, то оно делится на 9.

2) Если число делится на 9, то оно делится на 3.

Равносильны ли утверждения: «Число $a$ делится на 3» и «Число $a$ делится на 9»?

1) Если число делится на 3, то оно делится на 9.

Данное утверждение является ложным. Для его опровержения достаточно привести контрпример — число, которое делится на 3, но при этом не делится на 9.
Возьмем, например, число 12.
Проверим делимость на 3: $12 \div 3 = 4$. Число 12 делится на 3 без остатка.
Проверим делимость на 9: $12 \div 9 = 1$ (остаток 3). Число 12 не делится на 9 без остатка.
Поскольку существует хотя бы одно число (12), которое делится на 3, но не делится на 9, исходное утверждение неверно.

Ответ: утверждение ложно.

2) Если число делится на 9, то оно делится на 3.

Данное утверждение является истинным. Докажем это.
Если число a делится на 9, то его можно представить в виде произведения $a = 9 \cdot k$, где k — некоторое целое число.
Так как $9 = 3 \cdot 3$, мы можем переписать равенство следующим образом:
$a = (3 \cdot 3) \cdot k$
Используя свойство ассоциативности умножения, сгруппируем множители по-другому:
$a = 3 \cdot (3 \cdot k)$
Обозначим выражение в скобках как $m = 3 \cdot k$. Поскольку k — целое число, то и m является целым числом.
В результате мы получаем $a = 3 \cdot m$. Это по определению означает, что число a делится на 3.
Таким образом, любое число, которое делится на 9, также делится и на 3.

Ответ: утверждение истинно.

Равносильны ли утверждения: «Число а делится на 3» и «Число а делится на 9»?

Два утверждения считаются равносильными, если из истинности первого следует истинность второго, и наоборот, из истинности второго следует истинность первого.
Рассмотрим оба направления:
1. Из «Число а делится на 9» следует «Число а делится на 3». Как было доказано в пункте 2, это утверждение истинно.
2. Из «Число а делится на 3» следует «Число а делится на 9». Как было показано в пункте 1, это утверждение ложно (например, число 6 делится на 3, но не на 9).
Поскольку одно из следствий не выполняется, утверждения не являются равносильными. Из того, что число делится на 9, всегда следует, что оно делится на 3, но не наоборот.

Ответ: нет, утверждения не равносильны.