Номер 570, страница 120, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

570 Из двух пунктов, расстояние между которыми 100 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость первого была 15 км/ч, а второго – 10 км/ч. Вместе с первым велосипедистом выбежала собака со скоростью 20 км/ч. Встретив второго велосипедиста, собака повернула обратно и побежала навстречу первому велосипедисту. Встретив первого велосипедиста, она снова повернула. Собака бегала между велосипедистами до тех пор, пока велосипедисты не встретились. Сколько километров пробежала собака?

Решение

Эта задача имеет простое и изящное решение, если не пытаться вычислять длину каждого отдельного отрезка пути собаки. Ключевая идея состоит в том, что собака бегала ровно то же время, что и велосипедисты ехали до своей встречи. Поэтому, чтобы найти расстояние, которое пробежала собака, нам нужно сначала найти общее время движения.

1. Найдем время до встречи велосипедистов.
Велосипедисты движутся навстречу друг другу, поэтому для нахождения времени их встречи нужно использовать их скорость сближения, которая равна сумме их скоростей.
Скорость первого велосипедиста: $v_1 = 15$ км/ч.
Скорость второго велосипедиста: $v_2 = 10$ км/ч.
Скорость сближения: $v_{сбл} = v_1 + v_2 = 15 \text{ км/ч} + 10 \text{ км/ч} = 25$ км/ч.
Начальное расстояние между ними: $S = 100$ км.
Время до встречи ($t$) находим, разделив расстояние на скорость сближения:
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{100 \text{ км}}{25 \text{ км/ч}} = 4$ часа.

2. Найдем расстояние, которое пробежала собака.
Собака бегала всё это время, то есть 4 часа. Ее скорость была постоянной и равнялась $v_{собаки} = 20$ км/ч.
Чтобы найти общее расстояние, которое пробежала собака ($S_{собаки}$), нужно умножить ее скорость на время движения:
$S_{собаки} = v_{собаки} \times t = 20 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 80$ км.

Ответ: собака пробежала 80 км.