Номер 580, страница 122, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

580 Найди все значения переменной $c$, принадлежащие множеству $C = \{42, 73, 243, 347, 534, 8612, 12345\}$, при подстановке которых в данное предложение получаются истинные утверждения.

1) Число $c$ делится на 2.

2) Число $c$ делится на 3.

3) Число $c$ делится на 2 и на 3.

4) Число $c$ делится на 2, но не делится на 3.

5) Число $c$ делится на 3, но не делится на 2.

6) Число $c$ не делится ни на 2, ни на 3.

7) Число $c$ делится на 6.

Найди равносильные утверждения. Всегда ли число, кратное двум различным числам, кратно и их произведению? Приведи примеры.

Для решения задачи сначала проверим каждое число из множества $C = \{42, 73, 243, 347, 534, 8612, 12345\}$ на делимость на 2 и 3, используя признаки делимости.

• $42$: делится на 2 (так как четное) и делится на 3 (так как сумма цифр $4+2=6$ делится на 3).
• $73$: не делится на 2 (нечетное) и не делится на 3 (так как сумма цифр $7+3=10$ не делится на 3).
• $243$: не делится на 2 (нечетное), но делится на 3 (так как сумма цифр $2+4+3=9$ делится на 3).
• $347$: не делится на 2 (нечетное) и не делится на 3 (так как сумма цифр $3+4+7=14$ не делится на 3).
• $534$: делится на 2 (четное) и делится на 3 (так как сумма цифр $5+3+4=12$ делится на 3).
• $8612$: делится на 2 (четное), но не делится на 3 (так как сумма цифр $8+6+1+2=17$ не делится на 3).
• $12345$: не делится на 2 (нечетное), но делится на 3 (так как сумма цифр $1+2+3+4+5=15$ делится на 3).

Теперь найдем значения переменной $c$ для каждого утверждения.

1) Число с делится на 2.

Утверждение истинно для всех четных чисел из множества $C$.
Ответ: $c \in \{42, 534, 8612\}$.

2) Число с делится на 3.

Утверждение истинно для чисел, сумма цифр которых делится на 3.
Ответ: $c \in \{42, 243, 534, 12345\}$.

3) Число с делится на 2 и на 3.

Утверждение истинно для чисел, которые делятся и на 2, и на 3.
Ответ: $c \in \{42, 534\}$.

4) Число с делится на 2, но не делится на 3.

Утверждение истинно для чисел, которые являются четными, но сумма их цифр не делится на 3.
Ответ: $c \in \{8612\}$.

5) Число с делится на 3, но не делится на 2.

Утверждение истинно для нечетных чисел, сумма цифр которых делится на 3.
Ответ: $c \in \{243, 12345\}$.

6) Число с не делится ни на 2, ни на 3.

Утверждение истинно для нечетных чисел, сумма цифр которых не делится на 3.
Ответ: $c \in \{73, 347\}$.

7) Число с делится на 6.

Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. Это условие совпадает с условием в пункте 3.
Ответ: $c \in \{42, 534\}$.

Найди равносильные утверждения.

Равносильными называются утверждения, которые истинны для одного и того же множества значений переменной. Сравнивая полученные ответы, видим, что множества значений для утверждений 3 и 7 совпадают.
Ответ: Утверждения "Число $c$ делится на 2 и на 3" и "Число $c$ делится на 6" являются равносильными.

Всегда ли число, кратное двум различным числам, кратно и их произведению? Приведи примеры.

Нет, не всегда. Число, кратное двум различным числам $a$ и $b$, будет кратно их произведению $a \cdot b$ только в том случае, если числа $a$ и $b$ являются взаимно простыми (то есть их наибольший общий делитель равен 1).

Пример, когда утверждение верно (числа взаимно простые):
Возьмем числа 3 и 5. Они взаимно простые. Любое число, которое делится на 3 и на 5 (например, 30), также делится на их произведение $3 \cdot 5 = 15$. Действительно, $30:15=2$.

Пример, когда утверждение неверно (числа не взаимно простые):
Возьмем числа 6 и 9. Они не являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 3). Число 18 делится и на 6 ($18:6=3$), и на 9 ($18:9=2$). Однако 18 не делится на их произведение $6 \cdot 9 = 54$.
Ответ: Нет, не всегда. Утверждение верно, только если два числа взаимно просты. Например, число 18 кратно 6 и 9, но не кратно их произведению 54.