Номер 585, страница 123, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

585 Докажи или опровергни утверждения.

1) Если сумма цифр числа кратна 5, то число кратно 5.

2) Если число оканчивается цифрами 0 или 9, то оно кратно 9.

3) Трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, кратно 3.

4) Трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, кратно 37.

1) Утверждение ложно. Признак делимости на 5 гласит, что число должно оканчиваться на 0 или 5. Сумма цифр не влияет на делимость на 5. Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести один пример, где условие выполняется, а заключение — нет.
Рассмотрим число 14. Сумма его цифр: $1 + 4 = 5$. Сумма цифр кратна 5. Однако само число 14 не кратно 5, так как не оканчивается на 0 или 5.
Ответ: утверждение неверно.

2) Утверждение ложно. Признак делимости на 9 гласит, что число кратно 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна 9. Последняя цифра числа не определяет его делимость на 9.
Рассмотрим число 10. Оно оканчивается на 0. Сумма его цифр $1 + 0 = 1$. Так как 1 не кратно 9, то и 10 не кратно 9.
Рассмотрим число 19. Оно оканчивается на 9. Сумма его цифр $1 + 9 = 10$. Так как 10 не кратно 9, то и 19 не кратно 9.
Ответ: утверждение неверно.

3) Утверждение верно. Трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, можно обозначить как aaa, где a — это любая цифра от 1 до 9. Такое число можно представить в виде $100 \cdot a + 10 \cdot a + 1 \cdot a = 111 \cdot a$.
Согласно признаку делимости на 3, число кратно 3, если сумма его цифр кратна 3.
Сумма цифр числа aaa равна $a + a + a = 3a$.
Выражение $3a$ всегда делится на 3 без остатка для любой целой цифры a. Следовательно, любое трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, кратно 3.
Ответ: утверждение верно.

4) Утверждение верно. Как и в предыдущем пункте, представим трёхзначное число, записанное одинаковыми цифрами, как aaa, что равно $111 \cdot a$.
Чтобы проверить, кратно ли это число 37, нужно проверить, делится ли оно на 37 без остатка.
Разделим число 111 на 37: $111 \div 37 = 3$.
Это означает, что 111 кратно 37. Тогда и число $111 \cdot a$ также будет кратно 37, так как один из его множителей (111) кратен 37.
Мы можем записать наше число как $(3 \cdot 37) \cdot a = 37 \cdot (3a)$. Это доказывает, что число aaa всегда кратно 37.
Ответ: утверждение верно.