Номер 579, страница 122, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

579 Вместо звёздочки вставь неизвестную цифру так, чтобы получилось истинное утверждение. Укажи все возможные варианты ответов.

1) $312*$ делится на 2;

2) $312*$ делится на 5;

3) $312*$ делится на 3;

4) $312*$ делится на 9;

5) $312*$ делится на 4;

6) $312*$ делится на 25.

1) 312* делится на 2;
Согласно признаку делимости на 2, число должно оканчиваться на чётную цифру. К чётным цифрам относятся 0, 2, 4, 6, 8. Следовательно, звёздочку можно заменить на любую из этих цифр, чтобы число 312* делилось на 2.
Ответ: 0, 2, 4, 6, 8.

2) 312* делится на 5;
Согласно признаку делимости на 5, число должно оканчиваться на 0 или 5. Следовательно, чтобы число 312* делилось на 5, звёздочка может быть заменена на 0 или 5.
Ответ: 0, 5.

3) 312* делится на 3;
Согласно признаку делимости на 3, сумма цифр числа должна быть кратна 3. Найдём сумму известных цифр числа 312*: $3 + 1 + 2 = 6$. Таким образом, сумма всех цифр равна $6 + *$. Это выражение должно делиться на 3. Поскольку 6 делится на 3, то и * должна быть цифрой, делящейся на 3. Возможные значения для *: 0, 3, 6, 9.
Ответ: 0, 3, 6, 9.

4) 312* делится на 9;
Согласно признаку делимости на 9, сумма цифр числа должна быть кратна 9. Сумма известных цифр числа 312* равна $3 + 1 + 2 = 6$. Сумма всех цифр равна $6 + *$. Это выражение должно делиться на 9. Среди цифр от 0 до 9 только одна подходит: если $* = 3$, то сумма равна $6 + 3 = 9$, что кратно 9. Следующее кратное 9 число – 18, но для этого * должна быть равна 12, что не является цифрой.
Ответ: 3.

5) 312* делится на 4;
Согласно признаку делимости на 4, число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4. В нашем случае это число 2*. Проверим, при каких значениях * число 2* будет делиться на 4:
при $*=0$ получаем 20, $20 \div 4 = 5$;
при $*=4$ получаем 24, $24 \div 4 = 6$;
при $*=8$ получаем 28, $28 \div 4 = 7$.
Таким образом, подходящие цифры для * – это 0, 4, 8.
Ответ: 0, 4, 8.

6) 312* делится на 25.
Согласно признаку делимости на 25, число должно оканчиваться на 00, 25, 50 или 75. Число, образованное двумя последними цифрами 312*, имеет вид 2*. Из перечисленных вариантов подходит только 25. Следовательно, * должна быть равна 5.
Ответ: 5.