Номер 607, страница 127, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

C 607 Сергей нашёл произведение всех чисел от 1 до 11 включительно и записал результат на доске. Во время перерыва кто-то случайно стёр три цифры, и в записи осталось число 399*68**. Помоги восстановить цифры, не вычисляя произведение.

Искомое число — это произведение всех целых чисел от 1 до 11 включительно, то есть факториал числа 11, что записывается как $11!$. На доске была запись $399*68**$. Для восстановления стёртых цифр, которые мы обозначим как $x, y$ и $z$ (число $399x68yz$), воспользуемся признаками делимости, так как число $11!$ должно делиться на все числа от 1 до 11.

Сначала найдём последние две цифры. В произведении $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 11$ есть множители 10, а также 2 и 5. Произведение $2 \cdot 5 = 10$, и вместе с уже имеющимся множителем 10, это означает, что число $11!$ делится на $10 \cdot 10 = 100$. Число делится на 100 без остатка только в том случае, если две его последние цифры — нули. Следовательно, $y = 0$ и $z = 0$. Теперь число имеет вид $399x6800$.

Теперь найдём оставшуюся неизвестную цифру $x$. Так как среди множителей есть число 9, всё произведение $11!$ должно быть кратно 9. Согласно признаку делимости на 9, сумма цифр числа должна делиться на 9. Вычислим сумму цифр для числа $399x6800$:

$S = 3 + 9 + 9 + x + 6 + 8 + 0 + 0 = 35 + x$.

Сумма $35 + x$ должна быть кратна 9. Поскольку $x$ — это одна цифра (может принимать значение от 0 до 9), то $35 + x$ может быть в диапазоне от $35 + 0 = 35$ до $35 + 9 = 44$. Единственное число в этом промежутке, которое делится на 9 без остатка, — это 36.

Значит, $35 + x = 36$, откуда находим, что $x = 1$.

Таким образом, стёртые цифры — это 1, 0 и 0. Полностью восстановленное число — $39\ 916\ 800$. Для уверенности можно сделать проверку на делимость на 11. Разность сумм цифр на чётных и нечётных позициях (считая справа) для числа $39\ 916\ 800$ равна $(0+8+1+9) - (0+6+9+3) = 18 - 18 = 0$. Так как 0 делится на 11, число найдено верно.

Ответ: стёртые цифры — 1, 0, 0. Полное число — $39\ 916\ 800$.