Номер 611, страница 127, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

611 1) Два мотоциклиста едут по одному шоссе со скоростями $a$ км/ч и $b$ км/ч ($a > b$). С какой скоростью изменяется расстояние между ними, если они едут:

а) навстречу друг другу;

б) в противоположных направлениях;

в) вдогонку;

г) с отставанием?

2) Саша и Дима идут по аллее навстречу друг другу. Сейчас между ними $200$ м. Через сколько времени они встретятся, если скорость Саши $45$ м/мин, а скорость Димы на $10$ м/мин больше?

1) Обозначим скорости мотоциклистов как $v_1 = a$ км/ч и $v_2 = b$ км/ч, где по условию $a > b$. Скорость изменения расстояния между ними — это их относительная скорость, которая может быть скоростью сближения (если расстояние уменьшается) или скоростью удаления (если расстояние увеличивается).

а) навстречу друг другу;

Когда мотоциклисты едут навстречу друг другу, расстояние между ними сокращается. За один час первый мотоциклист проезжает $a$ км, а второй — $b$ км. Общее расстояние, на которое они сближаются за один час, равно сумме их скоростей. Эта скорость называется скоростью сближения.

Скорость сближения = $v_1 + v_2 = a + b$.

Таким образом, расстояние между ними изменяется (уменьшается) со скоростью $(a + b)$ км/ч.

Ответ: $(a + b)$ км/ч.

б) в противоположных направлениях;

Когда мотоциклисты едут в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается. За один час первый мотоциклист отъезжает на $a$ км от начальной точки, а второй — на $b$ км в другую сторону. Общее расстояние, на которое они удаляются друг от друга за один час, равно сумме их скоростей. Эта скорость называется скоростью удаления.

Скорость удаления = $v_1 + v_2 = a + b$.

Таким образом, расстояние между ними изменяется (увеличивается) со скоростью $(a + b)$ км/ч.

Ответ: $(a + b)$ км/ч.

в) вдогонку;

Когда один мотоциклист догоняет другого, они движутся в одном направлении. По условию $a > b$, значит, более быстрый мотоциклист (со скоростью $a$) догоняет более медленного (со скоростью $b$). За один час быстрый мотоциклист проезжает на $(a - b)$ км больше, чем медленный. На это значение и сокращается расстояние между ними. Это скорость сближения при движении в одном направлении.

Скорость сближения = $v_1 - v_2 = a - b$.

Таким образом, расстояние между ними изменяется (уменьшается) со скоростью $(a - b)$ км/ч.

Ответ: $(a - b)$ км/ч.

г) с отставанием?

Когда один мотоциклист отстает от другого, они также движутся в одном направлении. В этом случае более медленный мотоциклист (со скоростью $b$) находится позади более быстрого (со скоростью $a$). За один час быстрый мотоциклист удаляется от медленного на расстояние, равное разности их скоростей. Это скорость удаления при движении в одном направлении.

Скорость удаления = $v_1 - v_2 = a - b$.

Таким образом, расстояние между ними изменяется (увеличивается) со скоростью $(a - b)$ км/ч.

Ответ: $(a - b)$ км/ч.

2) Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем скорость Димы. По условию, его скорость на 10 м/мин больше скорости Саши. Скорость Саши равна 45 м/мин.

Скорость Димы = $45 + 10 = 55$ м/мин.

2. Найдем скорость сближения Саши и Димы. Так как они идут навстречу друг другу, их общая скорость сближения равна сумме их индивидуальных скоростей.

Скорость сближения = Скорость Саши + Скорость Димы = $45 \text{ м/мин} + 55 \text{ м/мин} = 100$ м/мин.

3. Найдем время, через которое они встретятся. Для этого нужно начальное расстояние между ними разделить на скорость сближения. Начальное расстояние равно 200 м.

Время = $\frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость сближения}} = \frac{200 \text{ м}}{100 \text{ м/мин}} = 2$ мин.

Ответ: Саша и Дима встретятся через 2 минуты.