Номер 615, страница 129, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

615 Запиши множество двузначных чисел, разложение которых на простые множители состоит:

а) из двух одинаковых множителей;

б) из трёх одинаковых множителей;

в) из четырёх одинаковых множителей.

а) из двух одинаковых множителей;

Двузначное число, разложение которого на простые множители состоит из двух одинаковых множителей, должно быть квадратом простого числа, то есть иметь вид $p^2$. Найдём такие двузначные числа (от 10 до 99).

Начнём перебирать простые числа $p$:

При $p = 2$, $2^2 = 4$ (не двузначное).

При $p = 3$, $3^2 = 9$ (не двузначное).

При $p = 5$, $5^2 = 25$. Это двузначное число, и его разложение на простые множители $25 = 5 \cdot 5$.

При $p = 7$, $7^2 = 49$. Это двузначное число, и его разложение на простые множители $49 = 7 \cdot 7$.

При $p = 11$, $11^2 = 121$. Это уже трехзначное число, поэтому дальнейшие простые числа не подходят.

Искомое множество чисел: {25, 49}.

Ответ: {25, 49}.

б) из трёх одинаковых множителей;

Двузначное число, разложение которого на простые множители состоит из трёх одинаковых множителей, должно быть кубом простого числа, то есть иметь вид $p^3$. Найдём такие двузначные числа.

Начнём перебирать простые числа $p$:

При $p = 2$, $2^3 = 8$ (не двузначное).

При $p = 3$, $3^3 = 27$. Это двузначное число, и его разложение на простые множители $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3$.

При $p = 5$, $5^3 = 125$. Это уже трехзначное число, поэтому дальнейшие простые числа не подходят.

Искомое множество чисел: {27}.

Ответ: {27}.

в) из четырёх одинаковых множителей.

Двузначное число, разложение которого на простые множители состоит из четырёх одинаковых множителей, должно быть четвертой степенью простого числа, то есть иметь вид $p^4$. Найдём такие двузначные числа.

Начнём перебирать простые числа $p$:

При $p = 2$, $2^4 = 16$. Это двузначное число, и его разложение на простые множители $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$.

При $p = 3$, $3^4 = 81$. Это двузначное число, и его разложение на простые множители $81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$.

При $p = 5$, $5^4 = 625$. Это уже трехзначное число, поэтому дальнейшие простые числа не подходят.

Искомое множество чисел: {16, 81}.

Ответ: {16, 81}.