Номер 621, страница 130, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

621 Докажи или опровергни следующие утверждения.

1) Если число делится на 3 и на 4, то оно делится на 12.

2) Если число делится на 4 и на 6, то оно делится на 24.

1) Если число делится на 3 и на 4, то оно делится на 12.

Данное утверждение является верным. Докажем это.

Общее правило гласит: если число делится на два взаимно простых числа, то оно делится и на их произведение. Числа 3 и 4 являются взаимно простыми, так как у них нет общих делителей, кроме 1. Их наибольший общий делитель $НОД(3, 4) = 1$.

Следовательно, если число делится на 3 и на 4, оно должно делиться на их произведение $3 \times 4 = 12$.

Доказательство через разложение на множители:

Пусть число $N$ делится на 3. Это значит, что в его разложении на простые множители есть как минимум одна тройка.

Пусть число $N$ делится на 4. Это значит, что $N$ делится на $2^2$. В его разложении на простые множители есть как минимум две двойки.

Поскольку $N$ делится и на 3, и на 4, в его разложении на простые множители должны присутствовать и одна тройка, и две двойки. Таким образом, $N$ можно представить в виде $N = 3 \times 2^2 \times k = 12k$, где $k$ – некоторое целое число. Это означает, что число $N$ делится на 12.

Ответ: утверждение верно.

2) Если число делится на 4 и на 6, то оно делится на 24.

Данное утверждение является неверным. Чтобы это доказать, достаточно привести один контрпример – число, которое удовлетворяет условию, но не удовлетворяет заключению.

Рассмотрим число 12.

Проверим, делится ли 12 на 4: $12 \div 4 = 3$. Да, делится без остатка.

Проверим, делится ли 12 на 6: $12 \div 6 = 2$. Да, делится без остатка.

Таким образом, число 12 удовлетворяет условию, так как делится и на 4, и на 6.

Теперь проверим, делится ли 12 на 24: $12 \div 24 = 0.5$. Нет, 12 не делится на 24 без остатка.

Мы нашли число (12), которое делится на 4 и 6, но не делится на 24. Следовательно, утверждение ложно.

Объяснение:

Правило о делимости на произведение работает только для взаимно простых чисел. Числа 4 и 6 не являются взаимно простыми, так как у них есть общий делитель 2 ($НОД(4, 6) = 2$). Если число делится на несколько других, оно гарантированно делится на их наименьшее общее кратное (НОК). Найдем $НОК(4, 6)$:

$4 = 2^2$

$6 = 2 \times 3$

$НОК(4, 6) = 2^2 \times 3 = 12$.

Таким образом, если число делится на 4 и 6, оно обязательно делится на 12, но не обязательно на $4 \times 6 = 24$.

Ответ: утверждение неверно.