Номер 623, страница 130, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

623 В магазине имеется больше 300, но меньше 400 ножей и вилок. Если ножи и вилки считать десятками, то получится целое число десятков, если их считать дюжинами – получится целое число дюжин. Сколько в магазине вилок и сколько ножей, если ножей на 160 меньше, чем вилок?

Пусть $N$ — общее количество ножей и вилок в магазине. Из условия задачи известно, что общее количество находится в диапазоне от 300 до 400, то есть $300 < N < 400$.

Условие, что ножи и вилки можно считать десятками, означает, что их общее число $N$ кратно 10. Условие, что их можно считать дюжинами (в одной дюжине 12 предметов), означает, что их общее число $N$ также кратно 12.

Следовательно, число $N$ должно быть общим кратным чисел 10 и 12. Чтобы найти такое число в заданном диапазоне, найдем сначала их наименьшее общее кратное (НОК). Для этого разложим числа 10 и 12 на простые множители:

$10 = 2 \cdot 5$

$12 = 2^2 \cdot 3$

$НОК(10, 12)$ равен произведению всех простых множителей, взятых в наибольшей степени:

$НОК(10, 12) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Теперь найдем число, кратное 60, которое удовлетворяет условию $300 < N < 400$. Выпишем числа, кратные 60: 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, ... Единственное число в этом ряду, которое находится в заданном промежутке — это 360.

Таким образом, общее количество ножей и вилок в магазине равно 360.

Теперь определим количество вилок и ножей. Пусть $В$ — количество вилок, а $К$ — количество ножей. Составим систему уравнений на основе условий задачи:

1) Общее количество: $В + К = 360$.

2) Ножей на 160 меньше, чем вилок: $К = В - 160$.

Подставим выражение для $К$ из второго уравнения в первое:

$В + (В - 160) = 360$

$2В - 160 = 360$

$2В = 360 + 160$

$2В = 520$

$В = \frac{520}{2}$

$В = 260$

Итак, в магазине 260 вилок. Теперь найдем количество ножей, используя второе уравнение:

$К = 260 - 160$

$К = 100$

В магазине 100 ножей.

Выполним проверку: общее количество $260 + 100 = 360$. Разница между количеством вилок и ножей $260 - 100 = 160$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: в магазине 260 вилок и 100 ножей.