Номер 625, страница 130, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

625 Может ли выражаться простым числом площадь квадрата, длина стороны которого является натуральным числом? А площадь прямоугольника, не являющегося квадратом?

Может ли выражаться простым числом площадь квадрата, длина стороны которого является натуральным числом?

Пусть сторона квадрата равна $a$, где $a$ — натуральное число, то есть $a \in \{1, 2, 3, ...\}$. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$.

Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя.

Рассмотрим два возможных случая для длины стороны $a$:

1. Если $a = 1$, то площадь квадрата $S = 1^2 = 1$. Число 1 по определению не является простым, так как у него только один натуральный делитель.

2. Если $a > 1$ (например, $a = 2, 3, 4, ...$), то площадь $S = a^2$ всегда будет иметь как минимум три различных делителя: 1, $a$ и $a^2$. Поскольку $a$ — натуральное число больше 1, то $1 < a < a^2$. Наличие делителя $a$, который отличается от 1 и от $a^2$, означает, что число $a^2$ не является простым, а является составным.

Например, если сторона квадрата равна 5, то его площадь $S = 5^2 = 25$. Делители числа 25 — это 1, 5 и 25. Так как у числа 25 есть делитель 5, отличный от 1 и 25, оно составное.

Таким образом, площадь квадрата, сторона которого является натуральным числом, не может быть простым числом.

Ответ: нет, не может.

А площадь прямоугольника, не являющегося квадратом?

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. По условию, прямоугольник не является квадратом, что означает $a \neq b$. Площадь такого прямоугольника $S$ равна $S = a \times b$.

Мы хотим выяснить, может ли площадь $S$ быть простым числом. Обозначим это простое число как $p$.

По определению, у простого числа $p$ есть только два натуральных делителя: 1 и $p$. Следовательно, если мы хотим представить $p$ в виде произведения двух натуральных чисел $a \times b$, то единственная возможность — это когда одно из чисел равно 1, а другое — $p$.

Пусть $a = 1$ и $b = p$. Проверим, удовлетворяет ли такой прямоугольник условиям задачи:

• Стороны $a$ и $b$ являются натуральными числами. Это верно, так как 1 — натуральное число, и любое простое число $p$ (2, 3, 5, ...) также является натуральным.
• Прямоугольник не является квадратом, то есть $a \neq b$. Это также верно, поскольку любое простое число $p$ по определению больше 1, значит $p \neq 1$.

Площадь такого прямоугольника будет равна $S = a \times b = 1 \times p = p$, что является простым числом.

Например, возьмем простое число 7. Прямоугольник со сторонами 1 и 7 имеет площадь, равную $1 \times 7 = 7$. Так как $1 \neq 7$, это не квадрат. Таким образом, мы нашли пример, подтверждающий возможность.

Ответ: да, может.