Номер 619, страница 129, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

619 Определи, делится ли число $a$ на $b$, и, если делится, найди частное:

1) $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11$, $b = 2 \cdot 2 \cdot 11$;

2) $a = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$, $b = 2 \cdot 13$;

3) $a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17$, $b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$;

4) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 19 \cdot 23$, $b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 19$;

5) $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13$, $b = 1000$;

6) $a = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17$, $b = 1001$.

129

1) Дано: $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11$ и $b = 2 \cdot 2 \cdot 11$.

Сравним разложения на простые множители. Все множители числа $b$ ($2, 2, 11$) также являются множителями числа $a$. Это означает, что число $a$ делится на $b$ нацело.

Чтобы найти частное, уберем из разложения числа $a$ множители, составляющие число $b$. Оставшиеся множители и дадут частное:

$\frac{a}{b} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11}{2 \cdot 2 \cdot 11} = 2 \cdot 5 = 10$.

Ответ: да, делится, частное равно 10.

2) Дано: $a = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$ и $b = 2 \cdot 13$.

Для того чтобы число $a$ делилось на $b$, все простые множители числа $b$ должны входить в разложение числа $a$. В разложении числа $b$ есть простой множитель 2, которого нет в разложении числа $a$.

Следовательно, число $a$ не делится нацело на $b$.

Ответ: нет, не делится.

3) Дано: $a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$.

Сравним простые множители чисел. В разложении $b$ множитель 3 используется дважды ($3^2$), а в разложении $a$ только один раз ($3^1$). Так как степень тройки у делителя $b$ больше, чем у делимого $a$, то $a$ не может нацело разделиться на $b$.

Ответ: нет, не делится.

4) Дано: $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 19 \cdot 23$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 19$.

Все простые множители числа $b$ ($2, 3, 3, 19$) содержатся в разложении числа $a$. Значит, $a$ делится на $b$ нацело.

Найдем частное, сократив общие множители:

$\frac{a}{b} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 19 \cdot 23}{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 19} = 2 \cdot 5 \cdot 23 = 230$.

Ответ: да, делится, частное равно 230.

5) Дано: $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13$ и $b = 1000$.

Разложим $b$ на простые множители: $b = 1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$.

Сравним разложения. В разложении $a$ множитель 5 встречается один раз ($5^1$), а в разложении $b$ три раза ($5^3$). Так как степень пятерки у делителя $b$ больше, чем у делимого $a$, то $a$ не делится нацело на $b$.

Ответ: нет, не делится.

6) Дано: $a = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17$ и $b = 1001$.

Разложим $b$ на простые множители. Число 1001 не делится на 2, 3, 5. Проверим 7: $1001 \div 7 = 143$. Теперь разложим 143. Проверим 11: $143 \div 11 = 13$. 13 — простое число. Таким образом, $b = 7 \cdot 11 \cdot 13$.

Все простые множители числа $b$ ($7, 11, 13$) содержатся в разложении числа $a$. Значит, $a$ делится на $b$ нацело.

Найдем частное, сократив общие множители:

$\frac{a}{b} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17}{7 \cdot 11 \cdot 13} = 3 \cdot 5 \cdot 17 = 255$.

Ответ: да, делится, частное равно 255.