Номер 747, страница 151, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

747 Существует ли куб, длина ребра которого выражается натуральным числом, а сумма длин всех рёбер выражается простым числом?

Пусть длина ребра куба равна $a$. По условию задачи, $a$ — это натуральное число, то есть $a \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Куб имеет 12 рёбер одинаковой длины. Сумма длин всех рёбер куба, обозначим её $S$, вычисляется как произведение количества рёбер на длину одного ребра:

$S = 12 \cdot a$

По условию, сумма длин всех рёбер $S$ должна быть простым числом. Простое число — это натуральное число больше единицы, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя.

Рассмотрим выражение $S = 12 \cdot a$.

Поскольку $a$ — натуральное число, наименьшее возможное значение $a$ равно 1.

Если $a = 1$, то $S = 12 \cdot 1 = 12$. Число 12 не является простым, так как оно делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Если $a > 1$, то число $S = 12 \cdot a$ будет иметь как минимум три различных делителя: 1, 12 и само число $S$. Так как 12 не равно 1 и не равно $S$ (поскольку $a>1$), то число $S$ является составным.

Таким образом, для любого натурального числа $a$, произведение $12 \cdot a$ является составным числом. Это означает, что сумма длин всех рёбер куба не может быть простым числом, если длина ребра выражается натуральным числом.

Ответ: нет, не существует.