Номер 754, страница 152, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

754 Проверь истинность равенств и объясни полученную закономерность, используя рисунок.

$1^2 = 1$

$2^2 = 1 + 3$

$3^2 = 1 + 3 + 5$

$4^2 = 1 + 3 + 5 + 7$

Перепиши равенства в тетрадь и продолжи составление «пирамиды» до $10^2$.

Проверка истинности равенств и объяснение закономерности

Сначала проверим истинность равенств с помощью арифметических вычислений:

$1^2 = 1$. Равенство верно.

$2^2 = 4$; $1 + 3 = 4$. Равенство $2^2 = 1+3$ верно.

$3^2 = 9$; $1 + 3 + 5 = 9$. Равенство $3^2 = 1+3+5$ верно.

$4^2 = 16$; $1 + 3 + 5 + 7 = 16$. Равенство $4^2 = 1+3+5+7$ верно.

Все представленные в задании равенства являются истинными.

Теперь объясним эту закономерность, используя предложенный рисунок. Рисунок представляет собой квадрат со стороной 4, который состоит из $4^2 = 16$ точек. Точки на рисунке сгруппированы в "уголки" (научное название такой фигуры — гномон), которые последовательно достраивают один квадрат до другого.

1. Квадрат размером $1 \times 1$ состоит из 1 точки. Это иллюстрирует первое равенство: $1^2 = 1$.

2. Чтобы из квадрата $1 \times 1$ получить квадрат $2 \times 2$, необходимо добавить гномон из 3 точек. Общее число точек становится $1 + 3 = 4$. Это иллюстрирует второе равенство: $2^2 = 1+3$.

3. Чтобы из квадрата $2 \times 2$ получить квадрат $3 \times 3$, необходимо добавить следующий гномон, состоящий из 5 точек. Общее число точек становится $4 + 5 = 9$ или $1 + 3 + 5 = 9$. Это иллюстрирует третье равенство: $3^2 = 1+3+5$.

4. Аналогично, чтобы из квадрата $3 \times 3$ получить квадрат $4 \times 4$, добавляется гномон из 7 точек. Общее число точек становится $9 + 7 = 16$ или $1+3+5+7=16$. Это иллюстрирует четвертое равенство: $4^2 = 1+3+5+7$.

Таким образом, мы видим закономерность: квадрат любого натурального числа $n$ равен сумме первых $n$ последовательных нечётных чисел. Формула этой закономерности выглядит так: $n^2 = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)$.

Ответ: Равенства истинны. Закономерность заключается в том, что квадрат натурального числа $n$ равен сумме первых $n$ нечётных чисел. Рисунок наглядно показывает, как каждый последующий квадрат $n \times n$ формируется из предыдущего квадрата $(n-1) \times (n-1)$ путем добавления "уголка" (гномона), состоящего из $2n-1$ точек, что соответствует очередному нечётному числу.

Продолжение «пирамиды» до 10²

Используя выявленную закономерность, продолжим составление равенств до $10^2$. Каждое следующее равенство получается путем добавления очередного нечётного числа.

$1^2 = 1$

$2^2 = 1 + 3$

$3^2 = 1 + 3 + 5$

$4^2 = 1 + 3 + 5 + 7$

$5^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$

$6^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$

$7^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13$

$8^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15$

$9^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17$

$10^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19$

Ответ:
$1^2 = 1$
$2^2 = 1 + 3$
$3^2 = 1 + 3 + 5$
$4^2 = 1 + 3 + 5 + 7$
$5^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$
$6^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$
$7^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13$
$8^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15$
$9^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17$
$10^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19$