Номер 750, страница 151, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

750 Длина ребра одного куба 5 см, а другого – в 2 раза больше. Во сколько раз объём второго куба больше объёма первого куба? Докажи, что полученный результат не зависит от размеров куба.

Во сколько раз объём второго куба больше объёма первого куба?

1. Сначала найдем длину ребра второго куба. По условию, она в 2 раза больше длины ребра первого куба, которая равна 5 см.
Длина ребра первого куба: $a_1 = 5$ см.
Длина ребра второго куба: $a_2 = 5 \text{ см} \times 2 = 10$ см.

2. Теперь вычислим объём каждого куба. Объём куба ($V$) находится по формуле $V = a^3$, где $a$ – это длина ребра куба.
Объём первого куба:
$V_1 = a_1^3 = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$ см³.
Объём второго куба:
$V_2 = a_2^3 = 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$ см³.

3. Чтобы узнать, во сколько раз объём второго куба больше объёма первого, нужно разделить $V_2$ на $V_1$.
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{1000}{125} = 8$.

Ответ: объём второго куба в 8 раз больше объёма первого куба.

Докажи, что полученный результат не зависит от размеров кубов.

Чтобы доказать это, решим задачу в общем виде.

1. Пусть длина ребра первого куба равна некоторой величине $a$.
Тогда его объём $V_1 = a^3$.

2. Длина ребра второго куба в 2 раза больше, следовательно, она равна $2 \times a$ или $2a$.
Объём второго куба $V_2 = (2a)^3$.

3. Раскроем скобки, используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$:
$V_2 = (2a)^3 = 2^3 \times a^3 = 8a^3$.

4. Теперь найдем отношение объёмов второго и первого кубов:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{8a^3}{a^3}$.

5. Сократив $a^3$ в числителе и знаменателе, мы получаем:
$\frac{V_2}{V_1} = 8$.

Этот результат показывает, что отношение объёмов всегда будет равно 8, независимо от исходного значения длины ребра $a$. Таким образом, доказано, что результат не зависит от размеров куба, а только от коэффициента увеличения ребра.

Ответ: если ребро куба увеличить в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз. В нашей задаче $k=2$, поэтому объём увеличивается в $2^3 = 8$ раз, и это соотношение не зависит от первоначального размера ребра.