Номер 756, страница 152, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

756 Разложи числа на простые множители, найди их НОД и НОК:

1) 360 и 588;

2) 1950 и 3300;

3) 180, 200 и 240.

1) 360 и 588

Сначала разложим числа 360 и 588 на простые множители.
Разложение числа 360:
$360 = 2 \cdot 180 = 2 \cdot 2 \cdot 90 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 45 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$
Таким образом, разложение числа 360 на простые множители: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$.
Разложение числа 588:
$588 = 2 \cdot 294 = 2 \cdot 2 \cdot 147 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 49 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$
Таким образом, разложение числа 588 на простые множители: $588 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7^2$.

Теперь найдем Наибольший Общий Делитель (НОД). Для этого нужно найти произведение общих простых множителей, взятых с наименьшим показателем степени.
Общие множители: 2 и 3. Наименьшая степень для 2 это $2^2$, для 3 это $3^1$.
НОД(360, 588) = $2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

Далее найдем Наименьшее Общее Кратное (НОК). Для этого нужно найти произведение всех простых множителей, входящих в разложения, взятых с наибольшим показателем степени.
Все множители: 2, 3, 5, 7. Наибольшая степень для 2 это $2^3$, для 3 это $3^2$, для 5 это $5^1$, для 7 это $7^2$.
НОК(360, 588) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^2 = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 49 = 17640$.

Ответ: разложение на простые множители: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$, $588 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7^2$; НОД = 12; НОК = 17640.

2) 1950 и 3300

Разложим числа 1950 и 3300 на простые множители.
Разложение числа 1950:
$1950 = 10 \cdot 195 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 39 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 13$.
Разложение числа 3300:
$3300 = 100 \cdot 33 = 10^2 \cdot 3 \cdot 11 = (2 \cdot 5)^2 \cdot 3 \cdot 11 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 11$.

Находим НОД. Общие множители: 2, 3, 5. Берем их в наименьшей степени: $2^1$, $3^1$, $5^2$.
НОД(1950, 3300) = $2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150$.

Находим НОК. Берем все множители в наибольших степенях: $2^2$, $3^1$, $5^2$, $11^1$, $13^1$.
НОК(1950, 3300) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 11 \cdot 13 = 4 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 11 \cdot 13 = 12 \cdot 25 \cdot 143 = 300 \cdot 143 = 42900$.

Ответ: разложение на простые множители: $1950 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 13$, $3300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 11$; НОД = 150; НОК = 42900.

3) 180, 200 и 240

Разложим числа 180, 200 и 240 на простые множители.
$180 = 18 \cdot 10 = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$.
$200 = 2 \cdot 100 = 2 \cdot 10^2 = 2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^3 \cdot 5^2$.
$240 = 24 \cdot 10 = 8 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$.

Находим НОД. Общие для всех трех чисел множители: 2 и 5. Берем их в наименьшей степени: $2^2$ и $5^1$.
НОД(180, 200, 240) = $2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$.

Находим НОК. Берем все множители из всех разложений в наибольшей степени: $2^4$, $3^2$, $5^2$.
НОК(180, 200, 240) = $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 16 \cdot 9 \cdot 25 = 144 \cdot 25 = 3600$.

Ответ: разложение на простые множители: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $200 = 2^3 \cdot 5^2$, $240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$; НОД = 20; НОК = 3600.