Номер 751, страница 151, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

751 На поверхности куба найди кратчайший путь:

а) из точки $A$ в точку $C$ через точку $B$;

б) из точки $A$ в точку $C$ через точку $D$.

752 Найди наибольшее натуральное решение нера-

Для решения задачи необходимо найти кратчайшие пути по поверхности куба между заданными точками. Обозначим длину ребра куба как $a$. Результат будет выражен через $a$, что соответствует утверждению в условии, что он не зависит от размеров куба.

Исходя из рисунка, определим расположение точек A, B, C и D. Линия, соединяющая A и B, проходит по верхней грани, но не является ребром, а диагональю. Это позволяет нам однозначно определить вершины:

• A — верхняя передняя левая вершина.
• B — верхняя задняя правая вершина (диагонально противоположна A на верхней грани).
• C — нижняя задняя левая вершина.
• D — нижняя задняя правая вершина (соседняя с C по ребру).

а) из точки А в точку С через точку В

Полный путь состоит из двух отрезков: от A до B и от B до C. Найдём кратчайшую длину для каждого.

1. Кратчайший путь от A до B. Точки A и B лежат на одной (верхней) грани куба и являются её диагонально противоположными вершинами. Кратчайший путь по поверхности между ними — это прямая линия на развёртке этой грани, то есть её диагональ. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

2. Кратчайший путь от B до C. Точка B (верхняя задняя правая вершина) и точка C (нижняя задняя левая вершина) обе лежат на задней грани куба. Аналогично предыдущему пункту, они являются диагонально противоположными вершинами этой грани. Кратчайший путь между ними — это диагональ задней грани, длина которой также равна $a\sqrt{2}$.

3. Общая длина пути. Суммарная длина кратчайшего пути из A в C через B равна сумме длин двух этих отрезков:

$L_a = a\sqrt{2} + a\sqrt{2} = 2a\sqrt{2}$.

Ответ: $2a\sqrt{2}$, где $a$ — длина ребра куба.

б) из точки А в точку С через точку D

Полный путь состоит из двух отрезков: от A до D и от D до C. Найдём кратчайшую длину для каждого.

1. Кратчайший путь от A до D. Точка A (верхняя передняя левая вершина) и точка D (нижняя задняя правая вершина) являются диаметрально противоположными вершинами куба. Кратчайший путь по поверхности между такими вершинами находится с помощью развёртки. Если развернуть, например, верхнюю и правую грани в одну плоскость, то A и D окажутся в вершинах прямоугольника со сторонами $a$ и $2a$. Кратчайший путь будет равен гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $2a$:

$L_{AD} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$.

2. Кратчайший путь от D до C. Точка D (нижняя задняя правая вершина) и точка C (нижняя задняя левая вершина) являются соседними вершинами, соединёнными ребром куба (нижним задним ребром). Кратчайший путь между ними — это само ребро. Его длина равна $a$.

3. Общая длина пути. Суммарная длина кратчайшего пути из A в C через D равна сумме длин отрезков A→D и D→C:

$L_b = a\sqrt{5} + a = a(1 + \sqrt{5})$.

Ответ: $a(1 + \sqrt{5})$, где $a$ — длина ребра куба.