Номер 749, страница 151, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

749 Сторона одного квадрата равна 5 см, а другого – в 2 раза больше. Во сколько раз площадь второго квадрата больше площади первого? Докажи, что полученный результат не зависит от размеров квадрата.

Во сколько раз площадь второго квадрата больше площади первого?
Обозначим сторону первого квадрата как $a_1$, а сторону второго — как $a_2$. Согласно условию, сторона первого квадрата равна $a_1 = 5$ см. Сторона второго квадрата в 2 раза больше, значит, ее длина составляет $a_2 = a_1 \times 2 = 5 \text{ см} \times 2 = 10 \text{ см}$.
Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина стороны квадрата.
Вычислим площадь первого квадрата:
$S_1 = a_1^2 = 5^2 = 25 \text{ см}^2$.
Вычислим площадь второго квадрата:
$S_2 = a_2^2 = 10^2 = 100 \text{ см}^2$.
Чтобы определить, во сколько раз площадь второго квадрата больше площади первого, найдем их отношение:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{100 \text{ см}^2}{25 \text{ см}^2} = 4$.
Следовательно, площадь второго квадрата в 4 раза больше площади первого.
Ответ: в 4 раза.

Докажи, что полученный результат не зависит от размеров квадрата.
Для доказательства рассмотрим общий случай. Пусть сторона первого квадрата имеет произвольную длину $a$. Тогда его площадь $S_1$ равна $a^2$.
Если сторона второго квадрата в $k$ раз больше стороны первого (в нашей задаче $k=2$), то ее длина будет равна $k \times a$.
Площадь второго квадрата $S_2$ будет равна:
$S_2 = (k \times a)^2 = k^2 \times a^2$.
Теперь найдем отношение площади второго квадрата к площади первого:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{k^2 \times a^2}{a^2}$.
Сократив $a^2$ в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{S_2}{S_1} = k^2$.
Этот результат показывает, что отношение площадей двух квадратов равно квадрату коэффициента, показывающего, во сколько раз отличаются их стороны. В этой формуле отсутствует переменная $a$ (начальная длина стороны), что доказывает, что отношение площадей не зависит от исходного размера квадрата, а зависит только от того, во сколько раз была увеличена его сторона.
Ответ: Отношение площадей двух квадратов, если сторона одного в $k$ раз больше стороны другого, всегда равно $k^2$ и не зависит от начальной длины стороны квадрата.