Номер 1002, страница 209, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1002 Выполни действия, если значения всех переменных - натуральные числа.

Если возможно, сократи получившиеся дроби:

1) $ \frac{2}{3a} + \frac{a}{9} $;

2) $ \frac{4}{b^2} - \frac{3}{bc} $;

3) $ 5 - \frac{3}{d} $;

4) $ \frac{3}{n} + k $;

5) $ \frac{a}{16c} \cdot \frac{4bc}{a^2} $;

6) $ \frac{m}{6n^2} \cdot (2n) $;

7) $ \frac{5x}{42yz} : \frac{x^2}{6y} $;

8) $ \frac{d^3}{9} : d^2 $.

1) Чтобы сложить дроби $ \frac{2}{3a} $ и $ \frac{a}{9} $, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $3a$ и $9$ равен $9a$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $3$, а для второй — $a$.

$ \frac{2}{3a} + \frac{a}{9} = \frac{2 \cdot 3}{3a \cdot 3} + \frac{a \cdot a}{9 \cdot a} = \frac{6}{9a} + \frac{a^2}{9a} = \frac{6 + a^2}{9a} $

Полученную дробь сократить нельзя.

Ответ: $ \frac{a^2+6}{9a} $.

2) Чтобы вычесть дроби $ \frac{4}{b^2} $ и $ \frac{3}{bc} $, найдем их общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для $b^2$ и $bc$ равен $b^2c$. Дополнительный множитель для первой дроби — $c$, для второй — $b$.

$ \frac{4}{b^2} - \frac{3}{bc} = \frac{4 \cdot c}{b^2 \cdot c} - \frac{3 \cdot b}{bc \cdot b} = \frac{4c}{b^2c} - \frac{3b}{b^2c} = \frac{4c - 3b}{b^2c} $

Полученную дробь сократить нельзя.

Ответ: $ \frac{4c-3b}{b^2c} $.

3) Чтобы из числа $5$ вычесть дробь $ \frac{3}{d} $, представим $5$ в виде дроби со знаменателем $d$.

$ 5 - \frac{3}{d} = \frac{5d}{d} - \frac{3}{d} = \frac{5d-3}{d} $

Полученную дробь сократить нельзя.

Ответ: $ \frac{5d-3}{d} $.

4) Чтобы к дроби $ \frac{3}{n} $ прибавить число $k$, представим $k$ в виде дроби со знаменателем $n$.

$ \frac{3}{n} + k = \frac{3}{n} + \frac{kn}{n} = \frac{3+kn}{n} $

Полученную дробь сократить нельзя.

Ответ: $ \frac{kn+3}{n} $.

5) Чтобы умножить дробь $ \frac{a}{16c} $ на дробь $ \frac{4bc}{a^2} $, умножим их числители и знаменатели, а затем сократим общие множители.

$ \frac{a}{16c} \cdot \frac{4bc}{a^2} = \frac{a \cdot 4bc}{16c \cdot a^2} = \frac{4abc}{16a^2c} $

Сокращаем дробь: числовой коэффициент $ \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $, переменные $ \frac{a}{a^2} = \frac{1}{a} $ и $ \frac{c}{c} = 1 $.

$ \frac{4abc}{16a^2c} = \frac{b}{4a} $

Ответ: $ \frac{b}{4a} $.

6) Чтобы умножить дробь $ \frac{m}{6n^2} $ на выражение $ (2n) $, представим $2n$ как дробь $ \frac{2n}{1} $.

$ \frac{m}{6n^2} \cdot (2n) = \frac{m}{6n^2} \cdot \frac{2n}{1} = \frac{m \cdot 2n}{6n^2} = \frac{2mn}{6n^2} $

Сокращаем дробь: числовой коэффициент $ \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $, переменные $ \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} $.

$ \frac{2mn}{6n^2} = \frac{m}{3n} $

Ответ: $ \frac{m}{3n} $.

7) Чтобы разделить дробь $ \frac{5x}{42yz} $ на дробь $ \frac{x^2}{6y} $, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$ \frac{5x}{42yz} : \frac{x^2}{6y} = \frac{5x}{42yz} \cdot \frac{6y}{x^2} = \frac{5x \cdot 6y}{42yz \cdot x^2} = \frac{30xy}{42x^2yz} $

Сокращаем дробь: числовой коэффициент $ \frac{30}{42} = \frac{5}{7} $ (разделив на 6), переменные $ \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} $ и $ \frac{y}{y} = 1 $.

$ \frac{30xy}{42x^2yz} = \frac{5}{7xz} $

Ответ: $ \frac{5}{7xz} $.

8) Чтобы разделить дробь $ \frac{d^3}{9} $ на $d^2$, представим $d^2$ как дробь $ \frac{d^2}{1} $ и выполним деление (умножение на обратную дробь).

$ \frac{d^3}{9} : d^2 = \frac{d^3}{9} \cdot \frac{1}{d^2} = \frac{d^3}{9d^2} $

Сокращаем дробь, используя свойство степеней $ \frac{d^3}{d^2} = d^{3-2} = d $.

$ \frac{d^3}{9d^2} = \frac{d}{9} $

Ответ: $ \frac{d}{9} $.