Номер 1003, страница 209, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1003 Докажи, что дробь нельзя перевести в конечную десятичную. Замени её конечной десятичной дробью с точностью до тысячных:

1) $\frac{7}{30}$;

2) $\frac{24}{11}$;

3) $\frac{38}{13}$;

4) $\frac{45}{7}$;

5) $\frac{64}{37}$.

1) $\frac{7}{30}$

Доказательство: Обыкновенную несократимую дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда в разложении её знаменателя на простые множители нет других чисел, кроме 2 и 5. Дробь $\frac{7}{30}$ является несократимой. Разложим знаменатель 30 на простые множители: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Так как в разложении присутствует множитель 3, эту дробь нельзя перевести в конечную десятичную.

Замена: Чтобы заменить дробь десятичной с точностью до тысячных, выполним деление числителя на знаменатель и округлим результат до 3-го знака после запятой.
$7 \div 30 = 0.2333...$
Четвертая цифра после запятой — 3. Поскольку $3 < 5$, округляем в меньшую сторону (отбрасываем последующие разряды).
$\frac{7}{30} \approx 0.233$.

Ответ: $0.233$.

2) $\frac{24}{11}$

Доказательство: Дробь $\frac{24}{11}$ является несократимой, так как 11 — простое число, и 24 на него не делится. Знаменатель 11 — это простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, эту дробь нельзя перевести в конечную десятичную.

Замена: Выполним деление и округлим результат до тысячных.
$24 \div 11 = 2.1818...$
Четвертая цифра после запятой — 8. Поскольку $8 \ge 5$, округляем в большую сторону (увеличиваем разряд тысячных на 1).
$\frac{24}{11} \approx 2.182$.

Ответ: $2.182$.

3) $\frac{38}{13}$

Доказательство: Дробь $\frac{38}{13}$ является несократимой, так как 13 — простое число, и 38 на него не делится. Знаменатель 13 — это простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, эту дробь нельзя перевести в конечную десятичную.

Замена: Выполним деление и округлим результат до тысячных.
$38 \div 13 = 2.92307...$
Четвертая цифра после запятой — 0. Поскольку $0 < 5$, округляем в меньшую сторону.
$\frac{38}{13} \approx 2.923$.

Ответ: $2.923$.

4) $\frac{45}{7}$

Доказательство: Дробь $\frac{45}{7}$ является несократимой, так как 7 — простое число, и 45 на него не делится. Знаменатель 7 — это простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, эту дробь нельзя перевести в конечную десятичную.

Замена: Выполним деление и округлим результат до тысячных.
$45 \div 7 = 6.42857...$
Четвертая цифра после запятой — 5. Поскольку $5 \ge 5$, округляем в большую сторону.
$\frac{45}{7} \approx 6.429$.

Ответ: $6.429$.

5) $\frac{64}{37}$

Доказательство: Дробь $\frac{64}{37}$ является несократимой, так как 37 — простое число, и 64 на него не делится. Знаменатель 37 — это простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, эту дробь нельзя перевести в конечную десятичную.

Замена: Выполним деление и округлим результат до тысячных.
$64 \div 37 = 1.729729...$
Четвертая цифра после запятой — 7. Поскольку $7 \ge 5$, округляем в большую сторону.
$1.7297... \approx 1.730$.

Ответ: $1.730$.