Номер 1005, страница 209, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1005 Дана дробь, которую можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби:

а) удвоенную дробь;

б) утроенную дробь;

в) её половину;

г) её третью часть;

д) её пятую часть;

е) её седьмую часть;

ж) обратную ей дробь?

Критерием того, что обыкновенная несократимая дробь $\frac{p}{q}$ может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, является отсутствие в разложении её знаменателя $q$ на простые множители любых чисел, кроме 2 и 5. Иными словами, знаменатель должен иметь вид $q = 2^n \cdot 5^m$, где $n$ и $m$ — целые неотрицательные числа.

Пусть дана дробь $x$, которая является конечной десятичной. Запишем её в виде несократимой дроби $x = \frac{p}{q}$, где $q = 2^n \cdot 5^m$.

а) удвоенную дробь

Удвоенная дробь равна $2x = 2 \cdot \frac{p}{q} = \frac{2p}{q}$. Знаменатель этой дроби (до возможного сокращения) равен $q = 2^n \cdot 5^m$. После сокращения, если оно возможно (в случае если $q$ — чётное число), новый знаменатель всё равно будет содержать в своём разложении только простые множители 2 и 5. Например, если $n \ge 1$, то после сокращения на 2 знаменатель станет $2^{n-1} \cdot 5^m$. Если $n=0$, знаменатель не изменится. Таким образом, полученная дробь всегда будет представима в виде конечной десятичной.
Ответ: Да, всегда.

б) утроенную дробь

Утроенная дробь равна $3x = 3 \cdot \frac{p}{q} = \frac{3p}{q}$. Знаменатель этой дроби равен $q = 2^n \cdot 5^m$. Поскольку в разложении $q$ нет множителя 3, а дробь $\frac{p}{q}$ несократима, то знаменатель итоговой дроби (возможно, после сокращения, если $p$ кратно 2 или 5) всё равно будет иметь в своём разложении на простые множители только 2 и 5. Следовательно, полученная дробь всегда будет конечной десятичной.
Ответ: Да, всегда.

в) её половину

Половина дроби равна $\frac{1}{2}x = \frac{1}{2} \cdot \frac{p}{q} = \frac{p}{2q}$. Исходный знаменатель $q = 2^n \cdot 5^m$. Новый знаменатель (до сокращения) равен $2q = 2 \cdot (2^n \cdot 5^m) = 2^{n+1} \cdot 5^m$. Этот знаменатель также состоит только из простых множителей 2 и 5. Следовательно, половина дроби всегда будет конечной десятичной.
Ответ: Да, всегда.

г) её третью часть

Третья часть дроби равна $\frac{1}{3}x = \frac{1}{3} \cdot \frac{p}{q} = \frac{p}{3q}$. Новый знаменатель (до сокращения) равен $3q = 3 \cdot (2^n \cdot 5^m)$. Он содержит простой множитель 3. Чтобы дробь была конечной десятичной, этот множитель 3 должен сократиться с числителем, то есть $p$ должно быть кратно 3. Но это условие выполняется не всегда.
Например, возьмём дробь $x = 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Это конечная десятичная дробь. Её третья часть равна $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$. Знаменатель $15 = 3 \cdot 5$. Так как в знаменателе есть множитель 3, дробь $\frac{1}{15}$ является бесконечной периодической ($0,0666...$).
Ответ: Нет, не всегда.

д) её пятую часть

Пятая часть дроби равна $\frac{1}{5}x = \frac{1}{5} \cdot \frac{p}{q} = \frac{p}{5q}$. Исходный знаменатель $q = 2^n \cdot 5^m$. Новый знаменатель (до сокращения) равен $5q = 5 \cdot (2^n \cdot 5^m) = 2^n \cdot 5^{m+1}$. Этот знаменатель также состоит только из простых множителей 2 и 5. Следовательно, пятая часть дроби всегда будет конечной десятичной.
Ответ: Да, всегда.

е) её седьмую часть

Седьмая часть дроби равна $\frac{1}{7}x = \frac{1}{7} \cdot \frac{p}{q} = \frac{p}{7q}$. Новый знаменатель (до сокращения) равен $7q = 7 \cdot (2^n \cdot 5^m)$. Он содержит простой множитель 7. Чтобы дробь была конечной десятичной, $p$ должно быть кратно 7, что выполняется не всегда.
Например, для $x = 0,1 = \frac{1}{10}$, её седьмая часть равна $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{70}$. Знаменатель $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$. Наличие множителя 7 делает дробь бесконечной периодической ($0,0\overline{142857}$).
Ответ: Нет, не всегда.

ж) обратную ей дробь

Обратная к дроби $x = \frac{p}{q}$ дробь равна $\frac{1}{x} = \frac{q}{p}$. Мы знаем, что $q = 2^n \cdot 5^m$. Обратная дробь имеет вид $\frac{2^n \cdot 5^m}{p}$. Чтобы эта дробь была конечной десятичной, её знаменатель $p$ (после сокращения) должен состоять только из простых множителей 2 и 5. Однако числитель исходной дроби $p$ может быть любым целым числом, не имеющим общих делителей с $q$.
Например, возьмём дробь $x = 0,3 = \frac{3}{10}$. Это конечная десятичная дробь. Обратная ей дробь равна $\frac{10}{3}$. Знаменатель равен 3, поэтому эта дробь является бесконечной периодической ($3,333...$).
Ответ: Нет, не всегда.