Номер 1012, страница 210, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1012 1) Отметь на координатной плоскости точки $A(2; 3)$, $B(8; 11)$, $C(14; 9)$, $D(8; 1)$ и построй четырёхугольник $ABCD$. Проведи диагонали $AC$ и $BD$ и найди координаты их точки пересечения $O$.

2) Измерь стороны и углы четырёхугольника $ABCD$ и установи как можно больше его свойств.

1)

Чтобы построить четырёхугольник $ABCD$, отметим на координатной плоскости точки $A(2; 3)$, $B(8; 11)$, $C(14; 9)$ и $D(8; 1)$ и соединим их последовательно отрезками. Проведём диагонали $AC$ и $BD$.
Для нахождения координат точки пересечения диагоналей $O$ можно предположить, что фигура является параллелограммом, и проверить, совпадают ли середины её диагоналей. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам.
Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляются по формулам:
$x_O = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_O = \frac{y_1 + y_2}{2}$.
Найдём середину диагонали $AC$ с концами $A(2; 3)$ и $C(14; 9)$:
$x_O = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$y_O = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Координаты середины $AC$ — $(8; 6)$.
Найдём середину диагонали $BD$ с концами $B(8; 11)$ и $D(8; 1)$:
$x_O = \frac{8 + 8}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$y_O = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Координаты середины $BD$ — $(8; 6)$.
Так как середины диагоналей совпадают, то точка их пересечения $O$ имеет координаты $(8; 6)$, и это доказывает, что $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: $O(8; 6)$.

2)

Для установления свойств четырёхугольника $ABCD$ вычислим длины его сторон и величины углов.
Длины сторон вычисляются по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$AB = \sqrt{(8 - 2)^2 + (11 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
$BC = \sqrt{(14 - 8)^2 + (9 - 11)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$CD = \sqrt{(8 - 14)^2 + (1 - 9)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
$DA = \sqrt{(2 - 8)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
Измерив углы (например, транспортиром на чертеже) или вычислив их, получаем:
$\angle A = \angle C \approx 71.6^\circ$
$\angle B = \angle D \approx 108.4^\circ$

Установленные свойства четырёхугольника $ABCD$:
1. Противоположные стороны попарно равны: $AB = CD = 10$ и $BC = DA = 2\sqrt{10}$.
2. Противоположные углы попарно равны: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.
3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$ (например, $\angle A + \angle B \approx 71.6^\circ + 108.4^\circ = 180^\circ$).
4. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (из пункта 1).
5. Так как у четырёхугольника противоположные стороны попарно равны (или, как показано в пункте 1, диагонали точкой пересечения делятся пополам), он является параллелограммом.
6. Так как соседние стороны не равны ($10 \neq 2\sqrt{10}$), это не ромб.
7. Так как углы не равны $90^\circ$, это не прямоугольник.

Ответ: Четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом. Его противоположные стороны попарно равны ($10$ и $2\sqrt{10}$), противоположные углы попарно равны (приблизительно $71.6^\circ$ и $108.4^\circ$), диагонали пересекаются в точке $O(8; 6)$ и делятся этой точкой пополам.