Номер 1006, страница 209, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1006 Даны две обыкновенные дроби, каждая из которых может быть представлена в виде конечной десятичной дроби. Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби их сумму, разность, произведение, частное?

Обыкновенная дробь представима в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда в разложении знаменателя её несократимой записи на простые множители содержатся только числа 2 и 5. Это равносильно тому, что дробь можно записать в виде $\frac{m}{10^n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — целое неотрицательное число.

Пусть даны две такие дроби, $d_1$ и $d_2$. Представим их в этом виде:

$d_1 = \frac{a}{10^k}$

$d_2 = \frac{b}{10^l}$

Здесь $a, b$ — целые числа, а $k, l$ — целые неотрицательные числа. Проверим, всегда ли их сумма, разность, произведение и частное будут представимы в виде конечной десятичной дроби.

Сумма

Сумма двух дробей равна: $d_1 + d_2 = \frac{a}{10^k} + \frac{b}{10^l}$.

Приводя дроби к общему знаменателю (например, $10^{\max(k,l)}$), мы получаем дробь, знаменатель которой является степенью числа 10. Если предположить, что $l \ge k$, то общий знаменатель будет $10^l$:

$d_1 + d_2 = \frac{a \cdot 10^{l-k}}{10^l} + \frac{b}{10^l} = \frac{a \cdot 10^{l-k} + b}{10^l}$

В числителе получается целое число, а в знаменателе — степень числа 10. Дробь такого вида всегда представляется в виде конечной десятичной.

Ответ: да, всегда.

Разность

Разность двух дробей равна: $d_1 - d_2 = \frac{a}{10^k} - \frac{b}{10^l}$.

Аналогично сложению, после приведения к общему знаменателю, который является степенью числа 10, мы получаем дробь с целочисленным числителем и знаменателем в виде степени 10. Например, если $l \ge k$:

$d_1 - d_2 = \frac{a \cdot 10^{l-k}}{10^l} - \frac{b}{10^l} = \frac{a \cdot 10^{l-k} - b}{10^l}$

Следовательно, разность всегда можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: да, всегда.

Произведение

Произведение двух дробей равно:

$d_1 \cdot d_2 = \frac{a}{10^k} \cdot \frac{b}{10^l} = \frac{a \cdot b}{10^{k+l}}$

В результате получается дробь, числитель которой — целое число $a \cdot b$, а знаменатель — степень числа 10 ($10^{k+l}$). Такая дробь всегда является конечной десятичной.

Ответ: да, всегда.

Частное

Рассмотрим частное двух дробей $\frac{d_1}{d_2}$ (при условии $d_2 \neq 0$, то есть $b \neq 0$):

$\frac{d_1}{d_2} = \frac{a/10^k}{b/10^l} = \frac{a}{10^k} \cdot \frac{10^l}{b} = \frac{a \cdot 10^l}{b \cdot 10^k}$

Чтобы частное всегда было конечной десятичной дробью, знаменатель этой дроби в несократимом виде должен содержать только простые множители 2 и 5. Знаменатель нашей дроби содержит множитель $b$, который является числителем десятичной записи дроби $d_2$ (например, для $0.25 = \frac{25}{100}$, $b=25$). Этот множитель $b$ может содержать простые множители, отличные от 2 и 5 (например, 3, 7, 11 и т.д.), которые могут не сократиться.

Приведем контрпример. Пусть $d_1 = 0.2 = \frac{2}{10}$ и $d_2 = 0.3 = \frac{3}{10}$. Обе дроби являются конечными десятичными.

Их частное равно:

$\frac{d_1}{d_2} = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2/10}{3/10} = \frac{2}{3}$

Дробь $\frac{2}{3}$ при делении дает бесконечную периодическую десятичную дробь $0.666...$ и не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, так как ее знаменатель 3 не является степенью 2 или 5.

Ответ: нет, не всегда.