Номер 1008, страница 209, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1008 а) Произведение двух данных обыкновенных дробей, отличных от $0$, может быть представлено в виде конечной десятичной дроби. Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби каждую из этих дробей?

б) Произведение двух данных обыкновенных дробей, отличных от $0$, а также одна из них могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей. Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби другую дробь?

а)

Нет, не всегда.
Для того чтобы несократимая обыкновенная дробь $\frac{m}{n}$ могла быть представлена в виде конечной десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы в разложении ее знаменателя $n$ на простые множители не содержалось никаких других простых чисел, кроме 2 и 5.
Рассмотрим контрпример. Возьмем две дроби: $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{5}$.
Дробь $\frac{2}{3}$ не может быть представлена в виде конечной десятичной, так как ее знаменатель 3 – это простое число, отличное от 2 и 5. При переводе в десятичную дробь мы получаем бесконечную периодическую дробь: $\frac{2}{3} = 0,(6)$.
Дробь $\frac{3}{5}$ является конечной десятичной дробью: $\frac{3}{5} = 0,6$.
Найдем произведение этих двух дробей:
$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$
Результат, дробь $\frac{2}{5}$, может быть представлен в виде конечной десятичной дроби: $\frac{2}{5} = 0,4$.
Таким образом, произведение двух дробей является конечной десятичной дробью, но одна из исходных дробей ($\frac{2}{3}$) таковой не является. Следовательно, не всегда можно представить каждую из дробей в виде конечной десятичной.
Ответ: нет.

б)

Нет, не всегда.
Пусть даны две дроби, $A$ и $B$. Нам известно, что $A$ и произведение $P = A \cdot B$ являются конечными десятичными дробями. Требуется определить, всегда ли дробь $B$ также будет конечной десятичной.
Дробь $B$ можно выразить из произведения: $B = \frac{P}{A}$. То есть, чтобы найти вторую дробь, нужно разделить произведение на первую дробь. Частное двух конечных десятичных дробей не всегда является конечной десятичной дробью.
Приведем контрпример.
Пусть одна из дробей, $A$, равна $0,3$. Это конечная десятичная дробь, которую можно записать как $A = \frac{3}{10}$.
Пусть их произведение, $P$, равно $0,1$. Это также конечная десятичная дробь, $P = \frac{1}{10}$.
Теперь найдем вторую дробь $B$:
$B = P \div A = \frac{1}{10} \div \frac{3}{10} = \frac{1}{10} \cdot \frac{10}{3} = \frac{1}{3}$
Дробь $B = \frac{1}{3}$ не является конечной десятичной дробью, так как при ее переводе в десятичный вид получается бесконечная периодическая дробь $0,(3)$. Ее знаменатель 3 в несократимой дроби не является степенью 2 или 5.
Таким образом, мы показали случай, когда одна из дробей и их произведение являются конечными десятичными дробями, а другая дробь — нет.
Ответ: нет.