Номер 1007, страница 209, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

1007 а) Сумма двух данных обыкновенных дробей может быть представлена в виде конечной десятичной дроби. Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной дроби каждую из этих дробей?

б) Сумма двух данных обыкновенных дробей, а также одна из них могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей. Всегда ли можно представить в виде конечной десятичной другую дробь?

а) Нет, не всегда. Чтобы обыкновенная несократимая дробь могла быть представлена в виде конечной десятичной дроби, её знаменатель при разложении на простые множители не должен содержать чисел, кроме 2 и 5. Можно привести контрпример, в котором сумма двух дробей является конечной десятичной, а сами дроби — нет.

Рассмотрим дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$.

Дробь $\frac{1}{3}$ нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, так как её знаменатель равен 3. Она равна бесконечной периодической дроби $0,(3)$.

Дробь $\frac{2}{3}$ также нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Она равна $0,(6)$.

Однако их сумма равна $S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Число 1 можно представить в виде конечной десятичной дроби (1,0). Таким образом, мы нашли две дроби, которые не являются конечными десятичными, но их сумма является конечной десятичной.

Ответ: Нет, не всегда.

б) Да, всегда. Пусть даны две обыкновенные дроби, $A$ и $B$. По условию, их сумма $S = A + B$ и одна из дробей, например $A$, могут быть представлены в виде конечных десятичных дробей.

Число является конечной десятичной дробью, если его можно представить в виде дроби $\frac{k}{10^n}$, где $k$ — целое число, а $n$ — целое неотрицательное число.

Пусть $A = \frac{m}{10^l}$ и $S = \frac{p}{10^q}$ для некоторых целых чисел $m, p$ и целых неотрицательных чисел $l, q$.

Выразим вторую дробь $B$ из равенства $S = A + B$:

$B = S - A$

Подставим представления для $S$ и $A$:

$B = \frac{p}{10^q} - \frac{m}{10^l}$

Разность двух конечных десятичных дробей всегда является конечной десятичной дробью. Чтобы это доказать, приведём дроби к общему знаменателю, который также будет степенью 10. Пусть $k = \max(l, q)$. Тогда:

$B = \frac{p \cdot 10^{k-q}}{10^k} - \frac{m \cdot 10^{k-l}}{10^k} = \frac{p \cdot 10^{k-q} - m \cdot 10^{k-l}}{10^k}$

В числителе полученной дроби стоит целое число, а в знаменателе — степень десяти. Следовательно, дробь $B$ всегда можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: Да, всегда.